Химическая система и модели вещества
Понимать, какую систему описывает задача и какие свойства вещества модель учитывает.
О модуле
Уроки 17–24: 8 уроков, 80 заданий, около 12 ч работы.
Критерий освоения: Самостоятельный расчёт состава газовой смеси с изменением температуры и количества вещества.
Типичные ошибки: Отождествление массы и количества вещества; использование молярного объёма без указания условий; смешение парциального и общего давления.
Уроки модуля
- Урок 17. Количество вещества и стехиометрическая модельМоль, частицы, молярная масса, коэффициенты реакции. Степень протекания реакции и её связь с изменением количеств компонентов.
- Урок 18. Состав растворов и смесейМассовая и мольная доли, молярная концентрация и моляльность, плотность. Пересчёты выполнять через ясно выбранную порцию системы.
- Урок 19. Система и её состояниеОткрытая, закрытая и изолированная системы; фаза, компонент, параметры состояния. Интенсивные и экстенсивные величины.
- Урок 20. Идеальный газУравнение состояния, абсолютная температура, молярный объём. Определение неизвестной молярной массы по эксперименту.
- Урок 21. Газовые смеси и влажный газЗакон Дальтона, мольные доли и парциальные давления. Учёт водяного пара при сборе газа над водой.
- Урок 22. Превращения в газовой смесиСвязь стехиометрии, общего количества вещества, давления и плотности. Восстановление степени превращения из измеряемой величины.
- Урок 23. Границы модели идеального газаМежмолекулярное притяжение и собственный объём частиц, фактор сжимаемости, смысл уравнения Ван-дер-Ваальса. Расчёты с заданной моделью.
- Урок 24. Молекулярная картина газаРаспределение скоростей, средняя кинетическая энергия, столкновения и эффузия. Различать среднюю, среднеквадратичную и наиболее вероятную скорости.
- Проверка модуля7 заданий по всем урокам · зачёт от 70 %
Конспект модуля
17Количество вещества и стехиометрическая модель
Моль, частицы и масса
bookmarkКоличество вещества
\(n = \dfrac{N}{N_A} = \dfrac{m}{M}\), где \(N\) — число частиц, \(N_A = 6{,}022\,140\,76\cdot10^{23}\) моль\(^{-1}\) — постоянная Авогадро (с 2019 года её значение точное, оно и определяет моль), \(M\) — молярная масса.
Молярная масса в г/моль численно равна относительной молекулярной (формульной) массе: \(M(\ce{H2SO4}) = 2\cdot1{,}008 + 32{,}06 + 4\cdot16{,}00 = 98{,}08\) г/моль.
| Известно | Нужно | Формула |
|---|---|---|
| масса \(m\) | количество \(n\) | \(n = m/M\) |
| количество \(n\) | число частиц \(N\) | \(N = nN_A\) |
| число частиц одного вида | число атомов в них | умножить на индекс в формуле |
| молярная масса | масса одной молекулы | \(m_0 = M/N_A\) |
errorМасса — не количество вещества
«Взяли равные массы водорода и гелия» — это не равные количества: в 1 г водорода 0,496 моль молекул, в 1 г гелия — 0,25 моль атомов. Уравнения реакций говорят о количествах, а не о массах; сравнивать массы через коэффициенты нельзя.
Уравнение реакции как модель
Коэффициенты уравнения реакции — это отношения количеств участников: в реакции \(\ce{N2 + 3H2 -> 2NH3}\) на каждый моль азота расходуется 3 моль водорода и образуется 2 моль аммиака. Массы в том же отношении не находятся.
bookmarkЛимитирующий реагент
Реагент, который кончится первым. Его находят не по наименьшему количеству, а по наименьшему отношению \(n_i/|\nu_i|\) — количеству, делённому на коэффициент. Он определяет, сколько продукта может получиться; остальные реагенты — в избытке.
Выход продукта — отношение полученного количества к теоретически возможному: \(\eta = \dfrac{n_\text{практ}}{n_\text{теор}}\).
errorМодель, а не описание механизма
Уравнение реакции — материальный баланс: оно говорит, в каких отношениях расходуются и образуются вещества, но не как идёт процесс. Столкновения «одной молекулы азота с тремя молекулами водорода» не происходит.
Степень протекания реакции
Ход реакции удобно описывать одной переменной. Для реакции \(\sum\nu_i\text{A}_i = 0\) (коэффициенты продуктов положительны, реагентов — отрицательны) количество каждого участника
где \(\xi\) — степень протекания (моль): на сколько «оборотов уравнения» прошла реакция. Одна и та же \(\xi\) описывает все вещества сразу.
| \(\ce{N2}\) | \(\ce{H2}\) | \(\ce{NH3}\) | |
|---|---|---|---|
| было | 1 | 2 | 0 |
| изменилось | \(-\xi\) | \(-3\xi\) | \(+2\xi\) |
| стало | \(1 - \xi\) | \(2 - 3\xi\) | \(2\xi\) |
Наибольшая степень протекания — минимальное из \(n_{i,0}/|\nu_i|\) по реагентам. Степень превращения реагента — доля израсходованного: \(\alpha_i = \dfrac{n_{i,0} - n_i}{n_{i,0}} = \dfrac{|\nu_i|\,\xi}{n_{i,0}}\); у разных реагентов она разная, а \(\xi\) — общая.
push_pinГлавное
Количество вещества связывает массу и число частиц; ход реакции описывает одна переменная \(\xi\): \(n_i = n_{i,0} + \nu_i\xi\), а наибольшее \(\xi\) задаёт лимитирующий реагент.
18Состав растворов и смесей
Способы выражать состав
| Величина | Определение | Единица | Зависит от \(T\) |
|---|---|---|---|
| массовая доля \(w\) | \(m_\text{в-ва}/m_\text{р-ра}\) | безразмерна, % | нет |
| мольная доля \(x\) | \(n_i/\sum n\) | безразмерна | нет |
| молярная концентрация \(c\) | \(n_\text{в-ва}/V_\text{р-ра}\) | моль/л (М) | да: объём меняется |
| моляльность \(b\) | \(n_\text{в-ва}/m_\text{растворителя}\) | моль/кг | нет |
| плотность \(\rho\) | \(m_\text{р-ра}/V_\text{р-ра}\) | г/мл | да |
errorМоляльность и молярность
Моляльность — на килограмм растворителя, молярная концентрация — на литр раствора. Для разбавленных водных растворов они близки численно, для концентрированных — сильно различаются. Путать их — типичная ошибка модуля.
Моляльность и доли удобны там, где температура меняется (понижение температуры замерзания, повышение температуры кипения); молярная концентрация — при работе с объёмами (титрование, равновесия в растворе).
Пересчёт через выбранную порцию
Надёжный способ любого пересчёта — выбрать порцию системы и найти в ней все массы и количества:
- известна молярная концентрация — берём 1 л раствора;
- известна массовая доля — 100 г раствора;
- известна моляльность — 1 кг растворителя.
Плотность переводит объём порции в массу: \(m = \rho V\).
edit_note98 %-я серная кислота (\(\rho = 1{,}84\) г/мл)
Порция — 1 л: \(m = 1840\) г, кислоты \(0{,}98\cdot1840 = 1803\) г \(= 18{,}4\) моль — \(c = 18{,}4\) моль/л. В 100 г той же кислоты: 98 г кислоты (0,999 моль) и 2 г воды — моляльность \(0{,}999 : 0{,}002 = 500\) моль/кг, мольная доля кислоты \(0{,}999 : (0{,}999 + 0{,}111) = 0{,}90\). Одна и та же кислота — очень разные числа.
Смешивание и разбавление
При разбавлении и смешивании сохраняется количество (масса) растворённого вещества:
errorОбъёмы не складываются
При смешивании жидкостей масса сохраняется, а объём — нет: 50 мл этанола и 50 мл воды дают около 96 мл раствора. Балансы составляют по массам и количествам вещества, а объём раствора находят через плотность.
edit_noteКристаллогидрат
Медный купорос \(\ce{CuSO4*5H2O}\) содержит \(159{,}61 : 249{,}69 = 63{,}9\) % безводной соли. Чтобы получить раствор с нужной массой \(\ce{CuSO4}\), кристаллогидрата берут больше: его вода становится частью растворителя. Баланс составляют по безводной соли.
push_pinГлавное
Любой пересчёт состава начинается с выбора порции (1 л раствора, 100 г раствора, 1 кг растворителя); плотность связывает объём и массу, а моляльность и доли не зависят от температуры.
19Система и её состояние
Граница системы
bookmarkСистема и окружение
Система — часть мира, которую мы выбрали для описания, окружение — всё остальное. Граница проводится решающим задачу: от неё зависит, какие балансы нужно составить.
| Тип системы | Обмен веществом | Обмен энергией | Пример |
|---|---|---|---|
| открытая | да | да | стакан с кипящей водой, живая клетка |
| закрытая | нет | да | запаянная ампула, газ в цилиндре под поршнем |
| изолированная | нет | нет | идеальный термос, калориметр в первом приближении |
lightbulbГраница — часть модели
Одну и ту же установку можно описывать по-разному. В калориметре системой может быть реакционная смесь (тогда вода и стакан — окружение, туда уходит теплота) или весь калориметр (тогда система почти изолированная). Выбор границы определяет, что считается теплотой, а что — внутренней энергией.
Фаза, компонент, состояние
bookmarkФаза
Однородная часть системы, отделённая от других частей поверхностью раздела, на которой свойства меняются скачком. Лёд, вода и пар над ними — три фазы; смесь газов — всегда одна фаза; две несмешивающиеся жидкости — две фазы; раствор соли — одна фаза.
Компоненты — вещества, количествами которых можно задать состав всех фаз. В растворе соли компонентов два (соль и вода), хотя частиц больше (\(\ce{Na+}\), \(\ce{Cl-}\), \(\ce{H2O}\), \(\ce{H+}\), \(\ce{OH-}\)): остальные связаны с ними равновесиями и электронейтральностью.
Параметры состояния — величины, которые задают состояние: давление, объём, температура, количества веществ. Для однофазной системы из одного вещества достаточно двух интенсивных параметров, например \(p\) и \(T\), — остальные следуют из уравнения состояния.
bookmarkФункция состояния
Величина, значение которой определяется только состоянием, а не путём, которым система в него пришла: \(V\), \(T\), \(p\), внутренняя энергия \(U\), энтальпия \(H\). Теплота \(Q\) и работа \(W\) — не функции состояния: они описывают процесс (подробно — в модуле 2).
Интенсивные и экстенсивные величины
Мысленно соединим две одинаковые системы. Экстенсивные величины удвоятся: масса, объём, количество вещества, внутренняя энергия. Интенсивные останутся прежними: температура, давление, плотность, концентрация, молярная масса.
| Экстенсивные | Интенсивные |
|---|---|
| \(m\), \(V\), \(n\), \(U\), \(H\) | \(T\), \(p\), \(\rho\), \(c\), \(M\), \(V_m\) |
Отношение двух экстенсивных величин — интенсивная: \(\rho = m/V\), \(c = n/V\), молярный объём \(V_m = V/n\), молярная теплоёмкость. Поэтому свойства вещества сводят в таблицы в «молярном» или «удельном» виде — они не зависят от размера порции.
errorИнтенсивные не складываются
При смешивании двух порций воды по 20 °C и 40 °C получится не 60 °C: температуры не складываются. Складываются экстенсивные величины — массы, количества, энергии; интенсивные находят из их баланса.
push_pinГлавное
Сначала проведите границу системы — что внутри и чем она обменивается с окружением; состояние задают параметры, экстенсивные величины удваиваются вместе с системой, интенсивные — нет.
20Идеальный газ
Уравнение состояния
functionУравнение Клапейрона — Менделеева
Газовая постоянная \(R = 8{,}314\) Дж/(моль·К) \(= 0{,}08206\) л·атм/(моль·К) \(= 0{,}08314\) л·бар/(моль·К) — её значение выбирают по единицам давления и объёма.
Модель идеального газа: молекулы — точки без собственного объёма, не притягиваются и не отталкиваются, сталкиваются упруго. Хорошо работает при давлениях до нескольких атмосфер и температурах вдали от конденсации.
Температура в уравнении — абсолютная. Объём газа при постоянном давлении линейно растёт с температурой, и продолжение этой прямой в область низких температур пересекает ось при \(-273{,}15\) °C — это абсолютный нуль.
Для неизменного количества газа удобно отношение двух состояний: \(\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}\) — постоянная \(R\) и \(n\) сокращаются.
Молярный объём и условия
Молярный объём идеального газа зависит от условий: \(V_m = \dfrac{V}{n} = \dfrac{RT}{p}\).
| Условия | \(T\) | \(p\) | \(V_m\), л/моль |
|---|---|---|---|
| нормальные (н. у.) | 273,15 К | 101,325 кПа | 22,41 |
| стандартные ИЮПАК | 273,15 К | 100 кПа | 22,71 |
| комнатные (часто в задачах) | 298,15 К | 100 кПа | 24,79 |
| 25 °C и 1 атм | 298,15 К | 101,325 кПа | 24,47 |
error22,4 л/моль — не константа
Использовать 22,4 л/моль при комнатной температуре — ошибка около 10 %. Молярный объём всегда связан с условиями; если они не нормальные, считают через \(RT/p\).
Плотность газа тоже зависит от условий: \(\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{pM}{RT}\). При одинаковых \(p\) и \(T\) плотности газов относятся как их молярные массы — отсюда относительная плотность \(D = M_1/M_2\).
Молярная масса по опыту
Уравнение состояния позволяет «взвесить молекулу»: зная массу, объём, температуру и давление газа, находим \(M = \dfrac{mRT}{pV} = \dfrac{\rho RT}{p}\).
edit_noteМетод Дюма
Летучую жидкость испаряют в колбе известного объёма при известных \(T\) и \(p\) (лишний пар выходит через капилляр), затем колбу охлаждают и взвешивают конденсат. Масса пара и уравнение состояния дают молярную массу. Так в XIX веке находили молекулярные массы летучих соединений.
lightbulbОт молярной массы — к веществу
Найденную \(M\) сравнивают с кандидатами, согласными с другими данными задачи: \(M = 44\) г/моль — это и \(\ce{CO2}\), и \(\ce{C3H8}\), и \(\ce{N2O}\); сгорает с образованием воды только пропан. Точность опыта обычно 1–3 %, поэтому выбирают ближайшее разумное значение.
Эти приёмы — «состав газа по объёмам и изменениям массы» — встречались в заключительном этапе Московской олимпиады 2026 года (11 класс, задача 1).
push_pinГлавное
\(pV = nRT\) связывает четыре параметра — по трём находится четвёртый; молярный объём зависит от условий, 22,4 л/моль — только при 0 °C и 1 атм.
21Газовые смеси и влажный газ
Закон Дальтона
functionЗакон Дальтона
Давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений компонентов: \(p = \sum p_i\). Парциальное давление — то давление, которое создавал бы газ, занимая весь объём смеси один при той же температуре:
Поскольку молекулы идеального газа не взаимодействуют, каждый компонент «не замечает» остальных. Отсюда же: объёмная доля компонента равна мольной и равна доле его парциального давления.
edit_noteВоздух
При \(p = 101{,}3\) кПа и \(x(\ce{O2}) = 0{,}209\) парциальное давление кислорода \(0{,}209\cdot101{,}3 = 21{,}2\) кПа. На высоте 5 км общее давление около 54 кПа — кислорода в воздухе по-прежнему 20,9 %, но его парциальное давление вдвое меньше: дышать тяжелее.
errorПарциальное или общее
В законах, описывающих отдельный газ (растворимость по Генри, равновесия, скорость реакции в газе), стоит парциальное давление этого газа, а не давление смеси. Путать их — типичная ошибка модуля.
Газ, собранный над водой
Газ, собранный вытеснением воды, насыщен водяным паром. Если уровень воды в сосуде с газом совпадает с уровнем в ванне, давление смеси равно атмосферному:
| \(t\), °C | 15 | 20 | 22 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p_\text{нас}(\ce{H2O})\), кПа | 1,71 | 2,34 | 2,64 | 3,17 | 4,25 |
Давление насыщенного пара зависит только от температуры (не от объёма и не от того, какой газ собран) — поэтому его берут из таблицы. Если уровни не выровнены, давление газа отличается от атмосферного ещё и на давление столба воды: 10 мм водяного столба — около 0,1 кПа.
errorЗабытый пар
Без поправки на пар количество газа получается завышенным на 2–4 %: при 25 °C пар составляет 3 % давления. В олимпиадной задаче это часто вся разница между верным и неверным ответом.
Состав смеси по измерениям объёма
Состав газовой смеси находят, поглощая один компонент реагентом при тех же \(p\) и \(T\): уменьшение объёма — это объём (а значит, и мольная доля) поглощённого газа. Щёлочь поглощает \(\ce{CO2}\), раствор пирогаллола — \(\ce{O2}\).
edit_noteСжигание смеси в избытке кислорода
Смесь водорода и угарного газа объёмом 50,0 мл сожгли в 50,0 мл кислорода; после охлаждения (вода сконденсировалась) осталось 45,0 мл газа. Обе реакции — \(\ce{2H2 + O2 -> 2H2O}\) и \(\ce{2CO + O2 -> 2CO2}\) — расходуют половину объёма горючего газа кислорода: \(25{,}0\) мл независимо от состава. Остаётся \(25{,}0\) мл \(\ce{O2}\) и \(\ce{CO2}\), равный объёму \(\ce{CO}\): \(V(\ce{CO}) = 45{,}0 - 25{,}0 = 20{,}0\) мл, водорода \(30{,}0\) мл.
lightbulbОбъёмы вместо молей
При постоянных \(p\) и \(T\) объёмы газов пропорциональны количествам вещества, и коэффициенты уравнения можно применять прямо к объёмам (закон объёмных отношений). Это экономит расчёт, но жидкие и твёрдые продукты в объём газа не входят.
push_pinГлавное
В смеси идеальных газов каждый газ ведёт себя так, будто он один: \(p_i = x_ip\), сумма парциальных давлений равна общему; газ, собранный над водой, насыщен паром — его давление вычитают.
22Превращения в газовой смеси
Общее количество газа при реакции
В газовой реакции общее количество газа меняется на \(\Delta\nu\) моль на каждый моль степени протекания:
Твёрдые и жидкие вещества в \(\Delta\nu\) не входят.
| Реакция | \(\Delta\nu\) |
|---|---|
| \(\ce{N2 + 3H2 -> 2NH3}\) | \(-2\) |
| \(\ce{2SO2 + O2 -> 2SO3}\) | \(-1\) |
| \(\ce{N2O4 -> 2NO2}\) | \(+1\) |
| \(\ce{CaCO3(s) -> CaO(s) + CO2}\) | \(+1\) |
| \(\ce{H2 + Cl2 -> 2HCl}\) | \(0\) |
| \(\ce{C(s) + O2 -> CO2}\) | \(0\) |
Если \(\Delta\nu = 0\), общее количество газа (и давление при постоянных \(V\), \(T\)) при реакции не меняется — по давлению за такой реакцией следить нельзя.
Давление, объём и плотность как измерители
Уравнение состояния превращает изменение количества газа в измеряемую величину:
| Условия | Что пропорционально \(n\) | Формула |
|---|---|---|
| \(V\), \(T\) постоянны | давление | \(p/p_0 = n/n_0\) |
| \(p\), \(T\) постоянны | объём | \(V/V_0 = n/n_0\) |
| \(p\), \(T\) постоянны | плотность — обратно | \(\rho/\rho_0 = n_0/n\) |
| всегда | средняя молярная масса — обратно | \(\bar M = m/n\) |
Масса газа в закрытой системе сохраняется, поэтому плотность смеси и её средняя молярная масса меняются обратно пропорционально количеству.
edit_noteДиссоциация \(\ce{N2O4}\)
\(\ce{N2O4 -> 2NO2}\) в закрытом сосуде: \(n = n_0(1 - \alpha) + 2n_0\alpha = n_0(1 + \alpha)\). Давление выросло со 100 до 130 кПа — значит, \(1 + \alpha = 1{,}30\) и \(\alpha = 0{,}30\).
Степень превращения по измерению
Химическое применение модуля — восстановить степень превращения из измеряемой величины: давления, объёма, плотности.
edit_noteПлотность паров при диссоциации
\(\ce{PCl5 <=> PCl3 + Cl2}\): из \(n_0\) моль получается \(n_0(1 + \alpha)\) моль, масса та же. Значит, \(\bar M = \dfrac{M(\ce{PCl5})}{1 + \alpha}\). Измерив плотность паров по воздуху \(D\), получаем \(\bar M = 29D\) и \(\alpha = \dfrac{M(\ce{PCl5})}{\bar M} - 1\). Так в XIX веке открыли, что «аномальная» плотность паров некоторых веществ — следствие диссоциации.
lightbulbОбщая схема
- Записать количество каждого газа через \(\xi\) (или \(\alpha\)).
- Сложить: \(n = n_0 + \Delta\nu\,\xi\).
- Связать \(n\) с измеренной величиной (\(p\), \(V\), \(\rho\), \(\bar M\)).
- Найти \(\xi\), затем — всё остальное (степени превращения, доли, парциальные давления).
push_pinГлавное
Общее количество газа меняется как \(n = n_0 + \Delta\nu\,\xi\); при постоянных \(V\) и \(T\) давление ему пропорционально, при постоянных \(p\) и \(T\) — объём, а плотность — обратно; по измеренному значению находят \(\xi\).
23Границы модели идеального газа
Когда газ не идеален
Модель идеального газа пренебрегает двумя вещами: притяжением молекул и их собственным объёмом. Оба эффекта заметны, когда молекулы сближаются — при высоком давлении и низкой температуре, вблизи конденсации.
bookmarkФактор сжимаемости
\(Z = \dfrac{pV_m}{RT}\). Для идеального газа \(Z = 1\). \(Z < 1\) — преобладает притяжение (газ сжимается легче идеального), \(Z > 1\) — преобладает собственный объём молекул (газ сжимается труднее).
При давлении 1 бар и комнатной температуре \(Z\) большинства газов отличается от 1 меньше чем на 0,5 % — модель идеального газа годится. При сотнях бар отличие достигает десятков процентов.
Уравнение Ван-дер-Ваальса
functionУравнение Ван-дер-Ваальса
- Поправка \(nb\): часть объёма занята самими молекулами, свободный объём меньше \(V\); \(b\) (л/моль) — «исключённый объём» моля молекул.
- Поправка \(an^2/V^2\): притяжение соседей тормозит молекулы у стенки, давление меньше; \(a\) растёт с силой межмолекулярного притяжения.
| Газ | \(a\), л²·бар/моль² | \(b\), л/моль |
|---|---|---|
| \(\ce{He}\) | 0,0346 | 0,0238 |
| \(\ce{H2}\) | 0,2476 | 0,0266 |
| \(\ce{N2}\) | 1,370 | 0,0387 |
| \(\ce{CH4}\) | 2,283 | 0,0428 |
| \(\ce{CO2}\) | 3,640 | 0,0427 |
| \(\ce{NH3}\) | 4,225 | 0,0371 |
ruleМодель, заданная условием
В олимпиадной задаче уравнение (или его постоянные) обычно даётся в условии. Главное — единицы: с \(a\) в л²·бар/моль² и \(b\) в л/моль давление получается в барах при \(R = 0{,}08314\) л·бар/(моль·К).
Размер молекул и выбор модели
Постоянная \(b\) позволяет оценить размер молекулы. Исключённый объём пары сталкивающихся сфер радиуса \(r\) — сфера радиуса \(2r\); на одну молекулу приходится половина: \(b \approx 4N_A\cdot\tfrac43\pi r^3\).
edit_noteАзот
\(b = 0{,}0387\) л/моль \(= 3{,}87\cdot10^{-5}\) м³/моль. На молекулу \(b/N_A = 6{,}43\cdot10^{-29}\) м³ \(= 4\cdot\tfrac43\pi r^3\), откуда \(r = 1{,}57\cdot10^{-10}\) м \(= 157\) пм — близко к размеру молекулы \(\ce{N2}\) по другим данным.
task_altНужна ли поправка
Оцените обе поправки при данных условиях: \(nb/V\) и \(an^2/(pV^2)\). Если обе меньше 1 %, модель идеального газа достаточна. При 1 бар и 300 К для азота они порядка 0,1 %.
errorГраница модели
Уравнение Ван-дер-Ваальса — тоже модель: качественно верно описывает отклонения и даже конденсацию, количественно при очень высоких давлениях ошибается. В задаче используют ту модель, которую задаёт условие.
push_pinГлавное
\(Z = pV_m/(RT)\) показывает, насколько газ неидеален: притяжение молекул уменьшает давление (\(Z < 1\)), собственный объём увеличивает (\(Z > 1\)); уравнение Ван-дер-Ваальса учитывает оба эффекта двумя постоянными.
24Молекулярная картина газа
Температура и кинетическая энергия
Молекулярно-кинетическая теория выводит давление газа из ударов молекул о стенку и даёт главный результат:
где \(k = R/N_A = 1{,}381\cdot10^{-23}\) Дж/К — постоянная Больцмана. Средняя кинетическая энергия поступательного движения зависит только от температуры — не от массы и не от природы газа.
Раз \(\tfrac12mu^2 = \tfrac32kT\), среднеквадратичная скорость \(u = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}\): лёгкие молекулы при той же температуре движутся быстрее. Водород при 300 К — около 1,9 км/с, азот — 0,5 км/с.
errorЭнергия одна — скорости разные
При одной температуре у гелия и ксенона одинаковая средняя кинетическая энергия, но разные скорости: \(u \propto 1/\sqrt M\).
Распределение скоростей
Скорости молекул не одинаковы: столкновения всё время перераспределяют энергию. Доли молекул с разными скоростями описывает распределение Максвелла:
| Скорость | Формула | Отношение |
|---|---|---|
| наиболее вероятная \(v_\text{в}\) | \(\sqrt{2RT/M}\) | 1 |
| средняя \(\bar v\) | \(\sqrt{8RT/(\pi M)}\) | 1,128 |
| среднеквадратичная \(u\) | \(\sqrt{3RT/M}\) | 1,225 |
Все три пропорциональны \(\sqrt{T/M}\) и отличаются лишь множителем. Какую брать — зависит от вопроса: средняя — для числа ударов и эффузии, среднеквадратичная — для энергии, наиболее вероятная — положение максимума кривой.
errorНе путать три скорости
В задаче обычно прямо сказано, какая скорость нужна. Разница между ними — до 22 %, больше допустимой погрешности ответа.
Столкновения и эффузия
Эффузия — выход газа через отверстие, малое по сравнению со средним расстоянием, которое молекула пролетает между столкновениями. Скорость эффузии пропорциональна средней скорости молекул, поэтому (закон Грэма)
edit_noteРазделение изотопов урана
\(^{235}\ce{UF6}\) (\(M = 349{,}03\)) и \(^{238}\ce{UF6}\) (\(M = 352{,}04\)) проходят через пористую перегородку с отношением скоростей \(\sqrt{352{,}04/349{,}03} = 1{,}0043\). Обогащение за одну ступень мало, поэтому ступеней нужны тысячи.
Средняя длина свободного пробега — путь между столкновениями: \(\lambda = \dfrac{kT}{\sqrt2\,\pi d^2p}\), где \(d\) — диаметр молекулы. Для азота при 1 атм и 300 К \(\lambda \approx 70\) нм — примерно в 200 раз больше размера молекулы и в 20 раз больше среднего расстояния между ними. При уменьшении давления \(\lambda\) растёт обратно пропорционально \(p\).
push_pinГлавное
Температура — мера средней кинетической энергии поступательного движения: \(\bar E = \tfrac32kT\); скорости молекул распределены, \(v_\text{в} < \bar v < u\), и все растут как \(\sqrt{T/M}\).