НОД и НОК
Наибольший общий делитель НОД\((a; b)\) — наибольшее число, на которое делятся и \(a\), и \(b\). Наименьшее общее кратное НОК\((a; b)\) — наименьшее число, которое делится и на \(a\), и на \(b\). Оба находят по разложению на простые множители.
Правило. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях; НОК — произведение всех встретившихся простых множителей в наибольших степенях. Связь: \[\text{НОД}(a; b) \cdot \text{НОК}(a; b) = a \cdot b.\] Если НОД\((a; b) = 1\), числа называют взаимно простыми.
Как это работает. Найдём НОД и НОК чисел 84 и 90.
- Раскладываем: \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\), \(90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\).
- НОД: общие множители 2 и 3 в наименьших степенях — \(2 \cdot 3 = 6\).
- НОК: все множители в наибольших степенях — \(2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 1260\).
- Проверка: \(6 \cdot 1260 = 7560 = 84 \cdot 90\). Ответ: НОД 6, НОК 1260.
Ещё пример. Найдите НОД\((1071; 462)\) без разложения.
Решение. Алгоритм Евклида: заменяем большее число остатком от деления на меньшее. \(1071 = 462 \cdot 2 + 147\); \(462 = 147 \cdot 3 + 21\); \(147 = 21 \cdot 7 + 0\). Последний ненулевой остаток — 21. Ответ: 21.
Лайфхак. В текстовых задачах НОК отвечает на вопрос «когда событие повторится одновременно» (автобусы выходят каждые 12 и 18 минут — встретятся через НОК\((12; 18) = 36\) минут), а НОД — «на какие наибольшие равные части можно разрезать» (ленты 84 и 90 см — куски по 6 см).
На ЕГЭ. НОД и НОК встречаются в задании 20 и в текстовых задачах задания 11 про периодические события; в части 1 их обычно не спрашивают напрямую, но они нужны для сокращения дробей и оценки сумм.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward