Остатки, чётность и метод «оценка плюс пример»

Остатки ведут себя как сами числа: остаток суммы равен остатку суммы остатков, остаток произведения — остатку произведения остатков. Отсюда полезные факты:

• квадрат целого числа при делении на 3 даёт остаток 0 или 1; при делении на 4 — тоже 0 или 1;
• сумма нескольких целых чисел нечётна тогда и только тогда, когда нечётных слагаемых нечётное количество;
• произведение чётно, если хотя бы один множитель чётен;
• \(a - b\) делится на \(m\) тогда и только тогда, когда \(a\) и \(b\) дают одинаковые остатки.

Пример. Можно ли представить число 2027 в виде суммы квадратов двух целых чисел?
Решение. Квадрат при делении на 4 даёт остаток 0 или 1, сумма двух квадратов — 0, 1 или 2. А \(2027 = 4 \cdot 506 + 3\) даёт остаток 3. Значит, нельзя.

В задании 20 пункт в) обычно просит найти наибольшее или наименьшее значение величины. Полное решение состоит из двух частей: оценка — доказательство, что лучше нельзя, и пример — набор чисел, на котором значение достигается. Без любой из частей решение не засчитывают полностью.

Пример. На доске написано несколько различных натуральных чисел, сумма которых равна 20. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?
Решение. Оценка: сумма шести различных натуральных чисел не меньше \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \gt 20\), поэтому чисел не больше пяти. Пример: \(1 + 2 + 3 + 4 + 10 = 20\). Ответ: 5.