Аналитические приёмы

• Расположение корней квадратного трёхчлена. Условие «оба корня \(f(x) = ax^2 + bx + c\) больше \(m\)» записывают через дискриминант, вершину и значение в точке: \(D \ge 0\), \(x_{\text{в}} \gt m\), \(a f(m) \gt 0\). «Корни по разные стороны от \(m\)»: \(a f(m) \lt 0\). Если корни находятся явно (\(x = a \pm 1\)), проще выписать условия на сами корни.
• Замена. В уравнении \(4^x - (a + 3) \cdot 2^x + 3a = 0\) замена \(t = 2^x \gt 0\) даёт \((t - 3)(t - a) = 0\): второй корень появляется только при \(a \gt 0\), \(a \ne 3\).
• Совпадение корней и ОДЗ. В уравнениях вида \((x - 3)(x - a)\sqrt{x - 1} = 0\) отдельно разбирают случаи, когда \(x = a\) выходит из ОДЗ (\(a \lt 1\)) или совпадает с другим корнем (\(a = 1\), \(a = 3\)).
• Симметрия. Если вместе с решением \(x_0\) решением является и \(-x_0\), то «единственное решение» возможно лишь при \(x_0 = 0\) — получаем необходимое условие на \(a\), затем проверяем достаточность.
• Оценка. Если левая часть не меньше \(A\), а правая не больше \(A\), равенство возможно только при одновременном достижении: \(\sqrt{x^2 + 4} + |a| = 2\) даёт \(x = 0\), \(a = 0\).

Пример. При каких \(a\) уравнение \(x^2 + (2a - 1)x + a^2 = 0\) имеет два различных корня, оба положительные?
Решение. \(D = (2a - 1)^2 - 4a^2 = 1 - 4a \gt 0\), \(a \lt \dfrac14\); сумма корней \(1 - 2a \gt 0\), \(a \lt \dfrac12\); произведение \(a^2 \gt 0\), \(a \ne 0\). Ответ: \(a \lt \dfrac14\), \(a \ne 0\).