Плоскость xOa: параметр как вторая координата

Если уравнение легко решить относительно параметра, его рассматривают как уравнение кривой в плоскости с осями \(x\) и \(a\). Тогда «число решений при данном \(a\)» — это число точек пересечения кривой с горизонтальной прямой \(a = \text{const}\). Метод особенно хорош, когда уравнение раскладывается на множители, каждый из которых прост относительно \(a\).

Пример. Дано уравнение \((x - 2a)(x - a - 1)(x + 1) = 0\) при условии \(x \ge 0\). Найдите все \(a\), при которых оно имеет ровно два различных корня.
Решение. Корни \(x = 2a\), \(x = a + 1\), \(x = -1\); последний не удовлетворяет \(x \ge 0\). Нужно, чтобы \(2a \ge 0\), \(a + 1 \ge 0\) и \(2a \ne a + 1\): \(a \ge 0\), \(a \ne 1\). Если ровно один из корней неотрицателен, решение одно: при \(-1 \le a \lt 0\). Ответ: \(a \in [0; 1) \cup (1; +\infty)\).

В плоскости \(xOa\) прямые \(a = \dfrac{x}{2}\) и \(a = x - 1\) рисуют в области \(x \ge 0\); горизонтальная прямая пересекает их в двух точках, кроме момента, когда они пересекаются между собой (\(x = 2\), \(a = 1\)).

Пример. При каких \(a\) уравнение \(x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0\) имеет корни, лежащие между \(-2\) и 4?
Решение. Корни \(x = a \pm 1\). Условие \(-2 \lt a - 1\) и \(a + 1 \lt 4\) даёт \(-1 \lt a \lt 3\).