Графический метод в плоскости xOy

Задача «найдите все \(a\), при которых уравнение имеет ровно \(n\) корней» становится задачей о числе общих точек двух графиков. Уравнение приводят к виду \(f(x) = a\) (слева график без параметра, справа горизонтальная прямая) или \(f(x) = g_a(x)\), где график правой части при изменении \(a\) двигается просто: прямая, вращающаяся вокруг точки, окружность с подвижным центром, «уголок» \(y = |x - a|\).

Пример. При каких \(a\) уравнение \(|x^2 - 4x + 2| = a\) имеет ровно четыре корня?
Решение. Парабола \(y = (x - 2)^2 - 2\) с вершиной \((2; -2)\); после отражения нижней части вершина переходит в \((2; 2)\). Прямая \(y = a\) пересекает график в четырёх точках при \(0 \lt a \lt 2\). При \(a = 2\) — три корня, при \(a = 0\) — два, при \(a \gt 2\) — два, при \(a \lt 0\) — ни одного.

Пример. При каких \(a\) система \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x + a \end{cases}\) имеет ровно одно решение?
Решение. Прямая касается окружности радиуса 2, когда расстояние от центра до прямой равно 2: \(\dfrac{|a|}{\sqrt2} = 2\), \(a = \pm 2\sqrt2\).

Граничные значения параметра — моменты, когда число общих точек меняется: касание, прохождение через «угол» или концевую точку графика. Их находят отдельно и проверяют сами граничные значения.