Арифметическая прогрессия

12 заданий

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа \(d\) (разности): \(a_{n + 1} = a_n + d\).

Что найти	Формула
\(n\)-й член	\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
Сумма \(n\) первых членов	\(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)n}{2} = \dfrac{(2a_1 + (n - 1)d)n}{2}\)
Характеристическое свойство	\(a_n = \dfrac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}\) — каждый член есть среднее арифметическое соседей
Разность через два члена	\(d = \dfrac{a_m - a_k}{m - k}\)

При \(d \gt 0\) прогрессия возрастает, при \(d \lt 0\) убывает. График — точки на прямой: \(a_n\) линейно зависит от \(n\).

Пример. Улитка каждый день проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий. За первый и последний дни она проползла вместе 10 м, а весь путь равен 150 м. Сколько дней она ползла?
Решение. \(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)n}{2}\): \(150 = \dfrac{10n}{2}\), \(n = 30\).

Пример. В амфитеатре 20 рядов; в первом ряду 12 мест, в каждом следующем на 2 места больше. Сколько мест в амфитеатре?
Решение. \(a_{20} = 12 + 19 \cdot 2 = 50\), \(S_{20} = \dfrac{(12 + 50) \cdot 20}{2} = 620\).

Лайфхак. Сумму \(1 + 2 + \ldots + n\) считают как \(\dfrac{n(n + 1)}{2}\); сумму нечётных \(1 + 3 + \ldots + (2n - 1)\) — как \(n^2\). Эти два факта заменяют формулу суммы в половине задач.

Из истории. По легенде, девятилетний Гаусс мгновенно сложил числа от 1 до 100, заметив, что \(1 + 100 = 2 + 99 = \ldots = 101\), а таких пар 50. Именно эта идея — сложить прогрессию «с двух концов» — лежит в формуле суммы.

Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward