Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — последовательность ненулевых чисел, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число \(q \ne 0\) (знаменатель): \(b_{n + 1} = b_n q\).
| Что найти | Формула |
|---|---|
| \(n\)-й член | \(b_n = b_1 q^{n - 1}\) |
| Сумма \(n\) первых членов | \(S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\), \(q \ne 1\) |
| Характеристическое свойство | \(b_n^2 = b_{n - 1} b_{n + 1}\) |
| Сумма бесконечно убывающей (\(|q| \lt 1\)) | \(S = \dfrac{b_1}{1 - q}\) |
Пример. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии \(3, 6, 12, \ldots\)
Решение. \(q = 2\): \(S_6 = \dfrac{3(2^6 - 1)}{2 - 1} = 3 \cdot 63 = 189\).
Пример. Найдите сумму \(1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac18 + \ldots\)
Решение. \(b_1 = 1\), \(q = \dfrac12\): \(S = \dfrac{1}{1 - \dfrac12} = 2\).
Пример. Бактерия делится каждые 20 минут. Сколько бактерий будет через 2 часа из одной?
Решение. За 2 часа — 6 делений: \(2^6 = 64\).
Ловушка ЕГЭ. Периодическая дробь — сумма бесконечно убывающей прогрессии: \(0{,}(7) = \dfrac{7}{10} + \dfrac{7}{100} + \ldots = \dfrac{0{,}7}{1 - 0{,}1} = \dfrac{7}{9}\). Проверьте так любой перевод периодической дроби.
Интересный факт. Легенда о шахматах: изобретатель попросил за первую клетку 1 зерно, за вторую 2, за третью 4 и так далее. Всего получилось \(2^{64} - 1 \approx 1{,}8 \cdot 10^{19}\) зёрен — больше, чем собрано пшеницы за всю историю человечества.
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward