Сложные проценты, вклады и кредиты

Если сумма ежегодно увеличивается на \(r\%\), через \(n\) лет она равна \(S\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^n\) — члены геометрической прогрессии со знаменателем \(k = 1 + \dfrac{r}{100}\). Так вклад 100 000 рублей под 10% годовых через 3 года превращается в \(100\,000 \cdot 1{,}1^3 = 133\,100\) рублей.

Кредит равными платежами (аннуитет). Долг \(S\), ставка \(r\%\), \(n\) платежей по \(X\). Каждый период долг сначала умножается на \(k\), потом уменьшается на \(X\). После последнего платежа долг равен нулю: \(Sk^n - X(k^{n - 1} + \ldots + k + 1) = 0\), откуда

\[X = \dfrac{Sk^n(k - 1)}{k^n - 1}.\]

Пример. Кредит 182 000 рублей на 3 года под 20% гасится тремя равными платежами. Найдите общую сумму выплат.
Решение. \(k = 1{,}2\), \(k^3 = 1{,}728\): \(X = \dfrac{182\,000 \cdot 1{,}728 \cdot 0{,}2}{0{,}728} = 86\,400\). Сумма выплат \(3 \cdot 86\,400 = 259\,200\) рублей.

Дифференцированные платежи. Долг уменьшается каждый период на одну и ту же величину \(\dfrac{S}{n}\), а проценты начисляются на остаток. Остатки долга \(S, \dfrac{(n - 1)S}{n}, \ldots, \dfrac{S}{n}\) образуют арифметическую прогрессию, поэтому переплата равна \(\dfrac{r}{100} \cdot S \cdot \dfrac{n + 1}{2}\).

Пример. Кредит 600 000 рублей на 12 месяцев под 2% в месяц с дифференцированными платежами. Найдите переплату.
Решение. \(0{,}02 \cdot 600\,000 \cdot \dfrac{13}{2} = 78\,000\) рублей.