Арифметическая прогрессия: разность и n-й член
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа \(d\), разности прогрессии. Это равномерный рост (или убывание): \(3, 7, 11, 15, \dots\) с \(d = 4\).
Формулы. \[a_{n + 1} = a_n + d, \qquad a_n = a_1 + d(n - 1), \qquad a_n = a_k + d(n - k).\] Характеристическое свойство: каждый член — среднее арифметическое соседей, \(a_n = \dfrac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}\). Три числа \(a\), \(b\), \(c\) образуют прогрессию, если \(2b = a + c\). Разность по двум членам: \(d = \dfrac{a_n - a_k}{n - k}\).
Как это работает. В арифметической прогрессии \(a_3 = 11\), \(a_8 = 31\). Найдём разность, первый член и \(a_{20}\).
- Разность: \(d = \dfrac{a_8 - a_3}{8 - 3} = \dfrac{20}{5} = 4\).
- Первый член: \(a_1 = a_3 - 2d = 11 - 8 = 3\).
- \(a_{20} = a_1 + 19d = 3 + 76 = 79\). Ответ: \(d = 4\), \(a_1 = 3\), \(a_{20} = 79\).
Ещё пример. Является ли число 100 членом прогрессии \(7, 10, 13, \dots\)?
Решение. \(d = 3\), \(a_n = 7 + 3(n - 1) = 3n + 4\). Уравнение \(3n + 4 = 100\) даёт \(n = 32\) — натуральное число. Ответ: да, это 32-й член.
Лайфхак. Формула \(a_n = a_1 + d(n - 1)\) — это линейная функция от \(n\): график прогрессии — точки на прямой. Поэтому \(d\) — «угловой коэффициент», и находить его по двум членам можно так же, как \(k\) по двум точкам прямой.
Типичная ошибка. Пишут \(a_n = a_1 + dn\) вместо \(a_1 + d(n - 1)\): от первого члена до \(n\)-го делают \(n - 1\) шагов, а не \(n\).
На ЕГЭ. Арифметическая прогрессия — модель текстовых задач задания 11 («каждый день бригада красит на 3 м больше») и дифференцированных платежей в задании 13, где выплаты процентов убывают равномерно.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward