Сумма арифметической прогрессии
Сумму первых \(n\) членов арифметической прогрессии считают, не складывая члены по одному: пары «первый и последний», «второй и предпоследний» дают одинаковые суммы. Эту идею в детстве использовал Гаусс, сложив числа от 1 до 100.
Формулы. \[S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n, \qquad S_n = \dfrac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n.\] Первая формула — когда известен последний член, вторая — когда известны \(a_1\) и \(d\). Сумма натуральных чисел от 1 до \(n\): \(\dfrac{n(n + 1)}{2}\). Член через суммы: \(a_n = S_n - S_{n - 1}\).
Как это работает. Найдём сумму всех двузначных чисел, кратных 7.
- Это прогрессия \(14, 21, \dots, 98\) с \(d = 7\). Число членов: \(98 = 14 + 7(n - 1)\), \(n - 1 = 12\), \(n = 13\).
- Сумма: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2} \cdot 13 = 56 \cdot 13 = 728\).
- Проверка через среднее: средний член \(56\), умноженный на 13 членов. Ответ: 728.
Ещё пример. Бригада красит забор длиной 288 м, увеличивая норму каждый день на 2 м. За 12 дней работа закончена. Сколько метров покрасили в первый день?
Решение. \(S_{12} = \dfrac{2a_1 + 2 \cdot 11}{2} \cdot 12 = (2a_1 + 22) \cdot 6 = 288\), откуда \(2a_1 + 22 = 48\), \(a_1 = 13\). Ответ: 13 м.
Лайфхак. Сумма прогрессии равна среднему члену, умноженному на число членов; средний член — это \(\dfrac{a_1 + a_n}{2}\). Если членов нечётное число, средний член есть в самой прогрессии, и считать можно устно: сумма \(1, 2, \dots, 99\) равна \(50 \cdot 99 = 4950\).
Типичная ошибка. Ошибаются в числе членов: от 14 до 98 с шагом 7 не \(\dfrac{98 - 14}{7} = 12\) членов, а на один больше — 13 (считаем «столбы, а не промежутки»).
На ЕГЭ. Задание 11: «Улитка ползёт в первый день 10 м, каждый следующий — на 2 м больше; за сколько дней она проползёт 160 м?» — уравнение на \(S_n\), квадратное относительно \(n\). Задание 13: общая переплата при дифференцированных платежах — сумма арифметической прогрессии.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward