Геометрическая прогрессия: знаменатель и n-й член
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член получается из предыдущего умножением на одно и то же число \(q\), знаменатель прогрессии. Это модель процентного роста: \(2, 6, 18, 54, \dots\) с \(q = 3\).
Формулы. \[b_{n + 1} = b_n \cdot q, \qquad b_n = b_1 q^{n - 1}, \qquad b_n = b_k q^{n - k}.\] Характеристическое свойство: \(b_n^2 = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}\) — квадрат члена равен произведению соседей. Знаменатель по двум членам: \(q^{n - k} = \dfrac{b_n}{b_k}\). При \(|q| \gt 1\) члены растут по модулю, при \(|q| \lt 1\) убывают, при \(q \lt 0\) знаки чередуются.
Как это работает. В геометрической прогрессии \(b_2 = 6\), \(b_5 = 162\). Найдём \(q\), \(b_1\) и \(b_7\).
- \(q^3 = \dfrac{b_5}{b_2} = \dfrac{162}{6} = 27\), откуда \(q = 3\).
- \(b_1 = \dfrac{b_2}{q} = 2\).
- \(b_7 = b_5 \cdot q^2 = 162 \cdot 9 = 1458\). Ответ: \(q = 3\), \(b_1 = 2\), \(b_7 = 1458\).
Ещё пример. Найдите положительное число \(x\), при котором числа \(4\), \(x\), \(25\) образуют геометрическую прогрессию.
Решение. По характеристическому свойству \(x^2 = 4 \cdot 25 = 100\), \(x = 10\) (положительный корень). Ответ: 10.
Лайфхак. Бактерии, удваивающиеся каждый час, вклад под процент, уменьшение концентрации при повторном разбавлении — всё это геометрические прогрессии. Вопрос «через сколько шагов величина превысит …» решают подбором степени: \(2^n \gt 1000\) при \(n = 10\).
Типичная ошибка. При извлечении корня чётной степени из \(q^2\) забывают второй знак: если \(q^2 = 9\), то \(q = 3\) или \(q = -3\), и условие задачи решает, какой подходит.
На ЕГЭ. Задание 11: «Численность бактерий увеличивается в 3 раза каждый час; во сколько раз она вырастет за 4 часа?» Задание 13: долг при аннуитетных платежах образует почти геометрическую прогрессию — множитель \(1 + \dfrac{r}{100}\) каждый год.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward