Сумма геометрической прогрессии

11 заданий

Сумму первых \(n\) членов геометрической прогрессии находят по формуле, а если знаменатель по модулю меньше 1, члены становятся исчезающе малыми, и сумма всех членов — бесконечно многих — оказывается конечным числом.

Формулы. \[S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}, \quad q \ne 1; \qquad S_n = nb_1 \text{ при } q = 1.\] Бесконечно убывающая прогрессия (\(|q| \lt 1\)): \[S = \dfrac{b_1}{1 - q}.\] Это предел сумм \(S_n\) при \(n \to \infty\): слагаемое \(q^n\) стремится к нулю.

Как это работает. Найдём сумму \(1 + 2 + 4 + \dots + 512\) и сумму бесконечной прогрессии \(9 + 3 + 1 + \dfrac13 + \dots\)

Первая прогрессия: \(b_1 = 1\), \(q = 2\), \(512 = 2^9\) — десятый член, \(n = 10\). \(S_{10} = \dfrac{1 \cdot (2^{10} - 1)}{2 - 1} = 1023\).
Вторая: \(b_1 = 9\), \(q = \dfrac13\), \(|q| \lt 1\). \(S = \dfrac{9}{1 - \dfrac13} = \dfrac{9}{\dfrac23} = 13{,}5\).
Ответ: 1023; 13,5.

Ещё пример. Представьте периодическую дробь \(0{,}(7)\) обыкновенной дробью с помощью прогрессии.
Решение. \(0{,}777\ldots = \dfrac{7}{10} + \dfrac{7}{100} + \dfrac{7}{1000} + \dots\) — прогрессия с \(b_1 = \dfrac{7}{10}\), \(q = \dfrac{1}{10}\). \(S = \dfrac{\dfrac{7}{10}}{1 - \dfrac{1}{10}} = \dfrac{7}{9}\). Ответ: \(\dfrac79\).

Лайфхак. Сумма степеней двойки от \(1\) до \(2^k\) равна \(2^{k + 1} - 1\): \(1 + 2 + 4 + \dots + 512 = 1024 - 1\). Для бесконечной суммы запоминайте образ: «первый член, делённый на то, чего не хватает знаменателю до единицы».

Типичная ошибка. Применяют формулу \(S = \dfrac{b_1}{1 - q}\) при \(|q| \ge 1\): сумма \(1 + 2 + 4 + \dots\) бесконечна, формула даёт бессмысленное \(-1\). Проверяйте \(|q| \lt 1\).

На ЕГЭ. Формула \(S_n\) с \(q = 1 + \dfrac{r}{100}\) даёт равный платёж по кредиту в задании 13 (следующие уроки). Бесконечно убывающая прогрессия встречается в задании 19 и в задачах о бесконечном процессе деления отрезка.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward