Сложные проценты: вклад и рост
Сложные проценты начисляют на всю накопленную сумму, включая уже начисленные проценты. Поэтому вклад растёт как геометрическая прогрессия: каждый год сумма умножается на один и тот же коэффициент.
Формула. Сумма через \(n\) лет при ставке \(r\,\%\) годовых: \[S_n = S_0\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^n.\] Если ставка меняется по годам, коэффициенты перемножают: \(S = S_0 k_1 k_2 \cdots k_n\). Уменьшение на \(r\,\%\) в год (амортизация, обесценивание): \(S_n = S_0\left(1 - \dfrac{r}{100}\right)^n\). Вопрос «через сколько лет сумма превысит …» решают перебором степеней или логарифмом.
Как это работает. Вклад 200 000 рублей размещён под 10 % годовых. Какой будет сумма через 3 года? Какова общая прибыль в процентах?
- Коэффициент \(1 + \dfrac{10}{100} = 1{,}1\). \(S_3 = 200\,000 \cdot 1{,}1^3 = 200\,000 \cdot 1{,}331 = 266\,200\).
- Прибыль \(66\,200\) рублей, то есть \(33{,}1\,\%\) от первоначальной суммы — больше, чем \(3 \cdot 10 = 30\,\%\): проценты начислялись на проценты.
- Ответ: 266 200 рублей; 33,1 %.
Ещё пример. Через сколько лет вклад под 20 % годовых удвоится?
Решение. \(1{,}2^n \ge 2\): \(1{,}2^3 = 1{,}728\), \(1{,}2^4 = 2{,}0736\). Удвоение — на четвёртом году. Ответ: через 4 года.
Лайфхак. Запомните степени: \(1{,}1^2 = 1{,}21\), \(1{,}1^3 = 1{,}331\), \(1{,}1^4 = 1{,}4641\); \(1{,}2^2 = 1{,}44\), \(1{,}2^3 = 1{,}728\); \(1{,}05^2 = 1{,}1025\); \(1{,}25^2 = 1{,}5625\). Они покрывают большинство числовых данных задания 13.
Типичная ошибка. Считают проценты за несколько лет сложением: «10 % за 3 года — это 30 %». При сложных процентах база растёт каждый год, итог 33,1 %.
На ЕГЭ. Задание 13 с вкладом: «Вкладчик положил сумму под \(r\,\%\), через два года снял 50 000 и ещё через год получил …; найдите \(r\)» — уравнение вида \(S_0 k^2 - 50\,000 = \ldots\), сводящееся к квадратному относительно \(k = 1 + \dfrac{r}{100}\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward