Кредит с равными платежами

При схеме с равными (аннуитетными) платежами каждый год происходят два события: сначала долг умножается на \(k = 1 + \dfrac{r}{100}\), затем заёмщик вносит платёж \(X\). После последнего платежа долг равен нулю. Для кредита на два года:

\[(Sk - X)k - X = 0, \quad X = \dfrac{Sk^2}{k + 1};\]

для трёх лет: \(((Sk - X)k - X)k - X = 0\), то есть \(Sk^3 = X(k^2 + k + 1)\). В общем случае \(X = \dfrac{Sk^n(k - 1)}{k^n - 1}\). Сумма всех выплат равна \(nX\), переплата — \(nX - S\).

Пример. Кредит 1 820 000 рублей взят на 3 года под 20 % годовых и гасится тремя равными платежами. Найдите платёж.
Решение. \(k = 1{,}2\): \(1{,}728 S = X(1{,}44 + 1{,}2 + 1) = 3{,}64X\), откуда \(X = \dfrac{1{,}728 \cdot 1\,820\,000}{3{,}64} = 864\,000\) рублей. Всего будет выплачено \(3 \cdot 864\,000 = 2\,592\,000\) рублей.

Пример. Кредит 660 000 рублей погашен двумя равными платежами по 594 000 рублей. Под какой процент выдан кредит?
Решение. \((660k - 594)k - 594 = 0\) (в тысячах рублей). Разделим на 66: \(10k^2 - 9k - 9 = 0\), \(D = 81 + 360 = 441\), \(k = \dfrac{9 + 21}{20} = 1{,}5\). Ставка 50 %.