Кредит с равными платежами

10 заданий

При аннуитетной схеме каждый год банк сначала начисляет проценты на остаток долга, а затем заёмщик вносит фиксированную сумму \(x\). Долг меняется по правилу «умножить на коэффициент, вычесть платёж», и за \(n\) лет должен обратиться в нуль.

Схема. \(k = 1 + \dfrac{r}{100}\), долг \(S\). После первого года: \(Sk - x\); после второго: \((Sk - x)k - x = Sk^2 - xk - x\); после \(n\)-го года: \[Sk^n - x(k^{n - 1} + \dots + k + 1) = Sk^n - x\dfrac{k^n - 1}{k - 1} = 0.\] Отсюда равный платёж \[x = \dfrac{Sk^n(k - 1)}{k^n - 1}.\] Общая выплата \(nx\), переплата \(nx - S\). Для \(n = 2\): \(x = \dfrac{Sk^2}{k + 1}\).

Как это работает. Кредит 1 млн рублей взят на 2 года под 10 % годовых с равными платежами. Найдём ежегодный платёж и переплату.

\(k = 1{,}1\), \(S = 1\,000\,000\). После первого года долг \(1{,}1S - x\), после второго \((1{,}1S - x) \cdot 1{,}1 - x = 0\).
\(1{,}21S = x(1{,}1 + 1) = 2{,}1x\), откуда \(x = \dfrac{1{,}21 \cdot 1\,000\,000}{2{,}1} = 576\,190{,}48\) рублей.
Переплата \(2x - S = 152\,380{,}95\) рублей. Ответ: платёж около 576 190 рублей, переплата около 152 381 рубль.

Ещё пример. Кредит на 3 года под 20 % с равными платежами: во сколько раз платёж больше трети долга?
Решение. \(k = 1{,}2\), \(x = \dfrac{S \cdot 1{,}728 \cdot 0{,}2}{0{,}728} = \dfrac{0{,}3456 S}{0{,}728} \approx 0{,}4747 S\). Треть долга — \(0{,}3333 S\); отношение \(\approx 1{,}42\). Ответ: примерно в 1,42 раза.

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1 (задание 13). Кредит 210 000 рублей взят на 2 года под 10 % годовых и погашается двумя равными платежами в конце каждого года. Найдите платёж.

Пусть платёж \(x\). После первого года долг: \(210\,000 \cdot 1{,}1 - x = 231\,000 - x\).
После второго года долг равен нулю: \((231\,000 - x) \cdot 1{,}1 - x = 0\), то есть \(254\,100 - 1{,}1x - x = 0\), \(2{,}1x = 254\,100\), \(x = 121\,000\).
Переплата: \(2 \cdot 121\,000 - 210\,000 = 32\,000\).

Ответ: 121 000.

Задача 2 (задание 13). Кредит на 2 года под 25 % годовых погашен двумя равными платежами по 50 000 рублей. Найдите сумму кредита.

Пусть сумма \(S\), коэффициент \(k = 1{,}25\). Долг после первого года: \(1{,}25S - 50\,000\); после второго: \((1{,}25S - 50\,000) \cdot 1{,}25 - 50\,000 = 0\).
\(1{,}5625S = 62\,500 + 50\,000 = 112\,500\), \(S = 72\,000\).
Проверка: \(72\,000 \cdot 1{,}25 = 90\,000\), минус 50 000 — 40 000; \(40\,000 \cdot 1{,}25 = 50\,000\), минус 50 000 — нуль.

Ответ: 72 000.

Лайфхак. Не запоминайте формулу платежа — выводите её таблицей: строка «долг в начале года — после начисления — после платежа» для каждого года. Для 2–3 лет это быстрее и надёжнее формулы, а эксперт видит ход решения.

Типичная ошибка. Начисляют проценты после платежа, а не до: правильный порядок — сначала долг умножается на \(k\), потом вычитается \(x\). Обратный порядок даёт другую сумму и неверный ответ.

На ЕГЭ. Задание 13 (новое в 2027 году, краткий ответ, 1 балл): «Найдите ежегодный платёж», «Найдите ставку, если платёж равен …», «На сколько рублей переплата больше …». Числа подбирают так, чтобы \(k\) был 1,1; 1,2; 1,25 или 1,5.

Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward