Дифференцированные платежи и кредит по таблице

Если долг каждый месяц уменьшается на одну и ту же сумму \(\dfrac{S}{n}\), остатки долга образуют арифметическую прогрессию \(S, \dfrac{n - 1}{n}S, \ldots, \dfrac1n S\). Каждый платёж равен \(\dfrac{S}{n}\) плюс проценты на текущий остаток, поэтому платежи убывают.

Полезно общее правило, верное для любой схемы, где задан долг на 15-е число каждого месяца. Платёж равен начисленным процентам плюс уменьшению долга. Уменьшения в сумме дают весь кредит \(S\), поэтому

\[\text{сумма выплат} = S + \dfrac{r}{100}\left(d_0 + d_1 + \ldots + d_{n - 1}\right),\]

где \(d_0 = S, d_1, \ldots, d_{n - 1}\) — долги перед начислением процентов. Для равномерного уменьшения долга переплата равна \(\dfrac{r}{100} \cdot S \cdot \dfrac{n + 1}{2}\).

Пример. Кредит 600 000 рублей взят на 12 месяцев под 2 % в месяц, долг уменьшается равномерно. Найдите переплату, первый и последний платежи.
Решение. Переплата \(0{,}02 \cdot 600\,000 \cdot \dfrac{13}{2} = 78\,000\) рублей. Первый платёж \(50\,000 + 0{,}02 \cdot 600\,000 = 62\,000\), последний \(50\,000 + 0{,}02 \cdot 50\,000 = 51\,000\) рублей.

Пример. Кредит взят на 24 месяца с равномерным уменьшением долга, и общая сумма выплат на 50 % больше суммы кредита. Найдите \(r\).
Решение. \(\dfrac{r}{100} \cdot \dfrac{25}{2} = 0{,}5\), откуда \(r = 4\).

Пример. Долг по таблице составляет 100 %, 80 %, 60 %, 40 %, 20 %, 0 % от кредита, ставка 3 % в месяц, кредит 1 000 000 рублей. Сколько нужно выплатить?
Решение. Сумма долгов перед начислениями: \(100 + 80 + 60 + 40 + 20 = 300\) % от кредита. Переплата \(0{,}03 \cdot 3 \cdot 1\,000\,000 = 90\,000\), всего 1 090 000 рублей.