Арксинус, арккосинус и арктангенс

11 заданий

Уравнение \(\sin x = \dfrac12\) имеет бесконечно много решений, поэтому «обратить» синус целиком нельзя. Договорились выбирать один представитель — угол из фиксированного промежутка. Так появляются арксинус, арккосинус и арктангенс — углы, а не числа «с крышечкой».

Определения. \(\arcsin a\) (при \(|a| \le 1\)) — угол из \(\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]\), синус которого равен \(a\). \(\arccos a\) (при \(|a| \le 1\)) — угол из \([0; \pi]\), косинус которого равен \(a\). \(\operatorname{arctg} a\) (для любого \(a\)) — угол из \(\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)\), тангенс которого равен \(a\). Для отрицательных чисел: \[\arcsin(-a) = -\arcsin a, \qquad \operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg} a, \qquad \arccos(-a) = \pi - \arccos a.\]

Дуги, на которых лежат значения арксинуса (правая половина) и арккосинуса (верхняя половина)

Как это работает. Вычислим \(\arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\) и \(\arcsin\left(-\dfrac12\right)\).

Арккосинус должен лежать в \([0; \pi]\). Угол с косинусом \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) — это \(\dfrac{\pi}{6}\); для отрицательного числа берём \(\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\). Проверка: \(\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{2}\), и \(\dfrac{5\pi}{6} \in [0; \pi]\).
Арксинус лежит в \(\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]\): \(\arcsin\left(-\dfrac12\right) = -\arcsin\dfrac12 = -\dfrac{\pi}{6}\).
Ответ: \(\dfrac{5\pi}{6}\) и \(-\dfrac{\pi}{6}\).

Ещё пример. Найдите \(\operatorname{arctg}\left(-\sqrt3\right) + \arccos 0\).
Решение. \(\operatorname{arctg}\sqrt3 = \dfrac{\pi}{3}\), поэтому \(\operatorname{arctg}(-\sqrt3) = -\dfrac{\pi}{3}\); \(\arccos 0 = \dfrac{\pi}{2}\). Сумма \(-\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{6}\). Ответ: \(\dfrac{\pi}{6}\).

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1. Вычислите \(\arcsin\dfrac{\sqrt3}{2} + \arccos\left(-\dfrac12\right)\).

\(\arcsin\dfrac{\sqrt3}{2}\) — угол из \(\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]\), синус которого равен \(\dfrac{\sqrt3}{2}\): это \(\dfrac{\pi}{3}\).
\(\arccos\left(-\dfrac12\right)\) — угол из \([0; \pi]\) с косинусом \(-\dfrac12\). Косинус отрицателен, угол во второй четверти: \(\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}\).
Сумма: \(\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi\).

Ответ: \(\pi\).

Задача 2. Вычислите \(\operatorname{arctg} 1 - \arcsin 1\).

\(\operatorname{arctg} 1\) — угол из \(\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)\) с тангенсом 1: это \(\dfrac{\pi}{4}\).
\(\arcsin 1 = \dfrac{\pi}{2}\) (верхняя точка окружности).
\(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{4}\).

Ответ: \(-\dfrac{\pi}{4}\).

Лайфхак. Арксинус и арктангенс «нечётные»: минус выносится вперёд. Арккосинус — нет: минус внутри превращается в \(\pi - \ldots\) снаружи. Ответ арккосинуса всегда от 0 до \(\pi\), поэтому \(\arccos\left(-\dfrac12\right) = \dfrac{2\pi}{3}\), а не \(-\dfrac{\pi}{3}\).

Типичная ошибка. \(\arcsin 2\) не существует: синус не бывает больше 1. А \(\operatorname{arctg} 2\) существует — это угол, тангенс которого равен 2, примерно \(63{,}4^\circ\).

На ЕГЭ. Через арксинус записывают решения уравнений с нетабличными значениями: \(\sin x = \dfrac13\) даёт \(x = (-1)^k\arcsin\dfrac13 + \pi k\). В задании 14 такие корни отбирают, оценивая арксинус: \(0 \lt \arcsin\dfrac13 \lt \dfrac{\pi}{6}\), так как \(\dfrac13 \lt \dfrac12\).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward