Арксинус, арккосинус, арктангенс
Обратные тригонометрические функции возвращают угол по значению функции — но только один, из условленного промежутка:
| Функция | Определение | Пример |
|---|---|---|
| \(\arcsin a\), \(|a| \le 1\) | угол из \(\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]\), синус которого равен \(a\) | \(\arcsin\dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{\pi}{3}\) |
| \(\arccos a\), \(|a| \le 1\) | угол из \([0; \pi]\), косинус которого равен \(a\) | \(\arccos 0 = \dfrac{\pi}{2}\) |
| \(\operatorname{arctg} a\) | угол из \(\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)\), тангенс которого равен \(a\) | \(\operatorname{arctg} 1 = \dfrac{\pi}{4}\) |
Полезные равенства: \(\arcsin(-a) = -\arcsin a\), \(\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg} a\), но \(\arccos(-a) = \pi - \arccos a\). Например, \(\arccos\left(-\dfrac12\right) = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}\), \(\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{4}\).
Пример. Вычислите \(\arcsin\dfrac12 + \arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\).
Решение. \(\arcsin\dfrac12 = \dfrac{\pi}{6}\), \(\arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right) = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\). Сумма равна \(\pi\).
Пример. Найдите \(\cos(\arcsin 0{,}6)\).
Решение. Угол \(\arcsin 0{,}6\) лежит в первой четверти, его синус равен \(0{,}6\), поэтому косинус равен \(\sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward