Основное тождество и формулы приведения

Из теоремы Пифагора для точки единичной окружности следует основное тригонометрическое тождество и его следствия:

\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \qquad 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}, \qquad 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha}.\]

Зная одну функцию и четверть, находят остальные.

Пример. Найдите \(\sin \alpha\), если \(\cos \alpha = -0{,}6\) и \(\pi \lt \alpha \lt \dfrac{3\pi}{2}\).
Решение. \(\sin^2 \alpha = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\). В третьей четверти синус отрицателен: \(\sin \alpha = -0{,}8\).

Формулы приведения для аргументов \(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha\), \(\pi \pm \alpha\), \(\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha\), \(2\pi - \alpha\) запоминают по двум правилам: 1) если в аргументе \(\dfrac{\pi}{2}\) или \(\dfrac{3\pi}{2}\), функция меняется на «кофункцию» (синус на косинус, тангенс на котангенс и обратно), если \(\pi\) или \(2\pi\) — не меняется; 2) знак результата — это знак исходной функции в той четверти, куда попадает угол при остром \(\alpha\).

Пример. Упростите \(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right)\).
Решение. В аргументе \(\dfrac{3\pi}{2}\) — функция меняется на синус; при остром \(\alpha\) угол лежит в третьей четверти, где косинус отрицателен. Значит, \(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin \alpha\).

Пример. Найдите \(\dfrac{5\sin 137^\circ}{\cos 47^\circ}\).
Решение. \(\sin 137^\circ = \sin(90^\circ + 47^\circ) = \cos 47^\circ\). Дробь равна 5.