Тангенс, котангенс и знаки по четвертям

\(\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) (\(\cos\alpha \ne 0\)), \(\operatorname{ctg} \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) (\(\sin\alpha \ne 0\)), \(\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1\). Тангенс — ордината точки на касательной \(x = 1\), в которую упирается луч угла; период тангенса и котангенса равен \(\pi\).

Знаки по четвертям. В первой четверти все функции положительны; во второй положителен только синус; в третьей — только тангенс и котангенс; в четвёртой — только косинус. Чётность: синус, тангенс и котангенс нечётны (\(\sin(-\alpha) = -\sin\alpha\)), косинус чётен (\(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\)).

Пример. Найдите \(\operatorname{tg}\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right)\).
Решение. Тангенс нечётный: \(-\operatorname{tg}\dfrac{4\pi}{3}\). Угол \(\dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3}\) лежит в третьей четверти, тангенс там положителен и равен \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3} = \sqrt3\). Ответ: \(-\sqrt3\).

Пример. Найдите знак произведения \(\sin 200^\circ \cdot \cos 100^\circ \cdot \operatorname{tg} 300^\circ\).
Решение. \(200^\circ\) — третья четверть, синус отрицателен; \(100^\circ\) — вторая, косинус отрицателен; \(300^\circ\) — четвёртая, тангенс отрицателен. Произведение трёх отрицательных чисел отрицательно.