Единичная окружность, синус и косинус

11 заданий

Точка \(P(1; 0)\) при повороте вокруг начала координат на угол \(\alpha\) (против часовой стрелки — положительный угол, по часовой — отрицательный) переходит в точку единичной окружности. Её абсцисса — \(\cos \alpha\), ордината — \(\sin \alpha\). Поэтому \(-1 \le \sin\alpha \le 1\) и \(-1 \le \cos\alpha \le 1\).

Единичная окружность: основные точки и проекции для угла \(\dfrac{\pi}{3}\)

Углы измеряют в радианах: полный оборот — \(2\pi\), развёрнутый угол — \(\pi\). Переводят по пропорции \(180^\circ = \pi\): \(1^\circ = \dfrac{\pi}{180}\), \(\dfrac{\pi}{6} = 30^\circ\), \(\dfrac{5\pi}{4} = 225^\circ\). Поворот на \(\alpha + 2\pi k\) даёт ту же точку, поэтому синус и косинус периодичны с периодом \(2\pi\).

\(\alpha\)	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\pi\)	\(\dfrac{3\pi}{2}\)
\(\sin \alpha\)	0	\(\dfrac12\)	\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)	1	0	\(-1\)
\(\cos \alpha\)	1	\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\dfrac12\)	0	\(-1\)	0

Пример. Найдите \(\sin \dfrac{7\pi}{6}\).
Решение. \(\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}\) — третья четверть, синус отрицателен, а «опорный» угол \(\dfrac{\pi}{6}\). Ответ: \(-\dfrac12\).

Лайфхак. Значения синуса для \(0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}\) — это \(\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}\). Косинус — те же числа в обратном порядке.

Из истории. Радианную меру ввёл в обиход Леонард Эйлер в XVIII веке: угол измеряется длиной дуги единичной окружности. Именно в радианах формулы анализа становятся простыми: \((\sin x)' = \cos x\).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward