Асимптоты и функции, непрерывные на отрезке

Вертикальная асимптота \(x = a\): значения функции неограниченно растут по модулю при \(x \to a\) (например, \(y = \dfrac{1}{x - 2}\), асимптота \(x = 2\); \(y = \log_2 x\), асимптота \(x = 0\)). Горизонтальная \(y = b\): \(f(x) \to b\) при \(x \to +\infty\) или \(x \to -\infty\) (\(y = 2^x\): асимптота \(y = 0\); \(y = \dfrac{3x + 1}{x - 1}\): асимптота \(y = 3\)). Наклонная \(y = kx + b\): \(f(x) - (kx + b) \to 0\); у дроби \(\dfrac{x^2 + 1}{x}\) наклонная асимптота \(y = x\).

Пример. Найдите асимптоты графика функции \(y = \dfrac{2x - 5}{x + 3}\).
Решение. Вертикальная \(x = -3\); выделим целую часть: \(y = 2 - \dfrac{11}{x + 3}\), горизонтальная \(y = 2\).

Свойства функции, непрерывной на отрезке \([a; b]\): она ограничена, достигает наибольшего и наименьшего значений и принимает все промежуточные значения между ними (теорема о промежуточном значении). В частности, если \(f(a)\) и \(f(b)\) разных знаков, на \((a; b)\) есть корень уравнения \(f(x) = 0\) — на этом основан метод интервалов.

Пример. Докажите, что уравнение \(x^5 + x - 3 = 0\) имеет корень на отрезке \([1; 2]\).
Решение. \(f(1) = -1 \lt 0\), \(f(2) = 31 \gt 0\), функция непрерывна, значит, между 1 и 2 она обращается в нуль. Корень единственный, так как \(f\) возрастает.