Непрерывность и точки разрыва

11 заданий

Функция непрерывна в точке, если её график в этой точке не «рвётся»: малое изменение аргумента даёт малое изменение значения. Все элементарные функции (многочлены, корни, степени, логарифмы, синус и косинус) непрерывны на своей области определения. Разрывы появляются там, где формула не определена или задана кусочно.

Виды разрывов. Устранимый — в точке «дырка», которую можно заделать одним значением: \(y = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\) совпадает с \(y = x + 1\) всюду, кроме \(x = 1\). Скачок — левый и правый пределы различны: \(y = \dfrac{|x|}{x}\) равна \(-1\) слева от нуля и 1 справа. Бесконечный — функция уходит в бесконечность: \(y = \dfrac1x\) при \(x = 0\). Дробь \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) имеет разрывы в нулях \(Q\); если нуль сокращается с числителем — разрыв устранимый, иначе — бесконечный.

Три вида разрывов: устранимый («дырка»), скачок и бесконечный разрыв

Как это работает. Найдём точки разрыва функции \(y = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}\) и определим их вид.

Знаменатель: \(x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\), нули 1 и 2 — точки разрыва.
Числитель: \((x - 2)(x + 2)\). Множитель \(x - 2\) сокращается: \(y = \dfrac{x + 2}{x - 1}\) при \(x \ne 2\). В точке 2 разрыв устранимый («дырка» на высоте \(\dfrac{4}{1} = 4\)).
В точке 1 знаменатель обращается в нуль, числитель \(3 \ne 0\) — бесконечный разрыв. Ответ: \(x = 2\) — устранимый, \(x = 1\) — бесконечный.

Ещё пример. При каком \(a\) функция \(f(x) = \begin{cases} x^2 + a, & x \lt 1, \\ 3x - 2, & x \ge 1 \end{cases}\) непрерывна?
Решение. Слева от 1 значения стремятся к \(1 + a\), справа — к \(3 \cdot 1 - 2 = 1\). Непрерывность требует \(1 + a = 1\), \(a = 0\). Ответ: \(a = 0\).

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1. Найдите точки разрыва функции \(y = \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 2x - 3}\) и определите их вид.

Знаменатель: \(x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)\), нули 3 и \(-1\) — кандидаты в точки разрыва. Числитель: \((x - 3)(x + 3)\).
При \(x \ne 3\) дробь сокращается: \(y = \dfrac{x + 3}{x + 1}\). В точке \(x = 3\) значение «должно было бы быть» \(\dfrac{6}{4} = 1{,}5\) — устранимый разрыв («дырка»).
В точке \(x = -1\) знаменатель нуль, числитель \(2 \ne 0\): значения уходят в бесконечность — бесконечный разрыв, вертикальная асимптота.

Ответ: \(x = 3\) — устранимый разрыв; \(x = -1\) — бесконечный разрыв.

Задача 2. При каком \(a\) функция \(f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x \lt 2, \\ x^2 - 1, & x \ge 2 \end{cases}\) непрерывна?

Каждая из формул непрерывна сама по себе; «склейка» в точке \(x = 2\) нужна без скачка: значения слева и справа должны совпасть.
Слева при \(x \to 2\): \(4 + a\). Справа: \(4 - 1 = 3\). Равенство \(4 + a = 3\) даёт \(a = -1\).

Ответ: \(-1\).

Лайфхак. У дроби сначала разложите числитель и знаменатель на множители и сократите: сократившиеся нули знаменателя — устранимые разрывы, оставшиеся — вертикальные асимптоты. Для кусочной функции приравняйте значения двух формул в точке стыка.

Типичная ошибка. Сокращают дробь и считают, что точка исчезла: \(\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\) не равна \(x + 1\) в точке \(x = 1\) — там функция не определена, и это должно остаться в ответе про область определения.

На ЕГЭ. Разрывы в явном виде на ЕГЭ не спрашивают, но из них растут выколотые точки в задании 15 и асимптоты в задании 12. Непрерывность — условие применимости теорем следующих уроков в задании 17.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward