Непрерывность и точки разрыва

Функция непрерывна в точке \(x_0\), если её график не рвётся: значения \(f(x)\) при \(x\), близких к \(x_0\), близки к \(f(x_0)\) — формально \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\). Все элементарные функции (многочлены, дроби, корни, степени, логарифмы, тригонометрические) непрерывны на своей области определения. Точки, где функция не определена или имеет скачок, — точки разрыва.

Виды разрывов: устранимый — функция \(\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\) не определена при \(x = 1\), но график — прямая \(y = x + 1\) с выколотой точкой; скачок — функция \(\operatorname{sign} x\) слева от нуля равна \(-1\), справа \(1\); бесконечный — \(\dfrac1x\) при \(x \to 0\) уходит в бесконечность.

Пример. Найдите точки разрыва функции \(f(x) = \dfrac{x + 2}{x^2 - 4}\).
Решение. Знаменатель равен нулю при \(x = \pm 2\). При \(x = -2\) разрыв устранимый (\(f(x) = \dfrac{1}{x - 2}\) при \(x \ne -2\)), при \(x = 2\) — бесконечный.

Пример. При каком \(a\) функция \(f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 1, \\ ax - 1, & x \gt 1 \end{cases}\) непрерывна?
Решение. Куски должны «встретиться» при \(x = 1\): \(1 = a - 1\), \(a = 2\).