Чётность и остатки в рассуждениях
Самый частый инструмент доказательств о целых числах — рассуждение об остатках. Часто достаточно одного остатка — чётности. Правила чётности: сумма двух чисел одной чётности чётна, разной — нечётна; произведение чётно, если хотя бы один множитель чётен.
Правило. Остаток суммы равен остатку суммы остатков, остаток произведения — остатку произведения остатков. Квадрат целого числа при делении на 4 даёт остаток 0 или 1 (при делении на 3 — тоже 0 или 1, на 8 — 0, 1 или 4). Поэтому число вида \(4k + 2\) или \(4k + 3\) не является точным квадратом.
Как это работает. Может ли сумма 11 нечётных чисел равняться 2026?
- Нечётное число записывается как \(2k + 1\). Сумма 11 таких чисел равна \(2(k_1 + \dots + k_{11}) + 11\) — чётное число плюс 11.
- Значит, сумма нечётна при любых слагаемых.
- Число 2026 чётно, поэтому равенство невозможно. Ответ: нет.
Ещё пример. Докажите, что \(n^2 + 2\) не делится на 4 ни при каком целом \(n\).
Решение. Если \(n\) чётно, \(n = 2k\), то \(n^2 + 2 = 4k^2 + 2\) даёт остаток 2. Если \(n\) нечётно, \(n = 2k + 1\), то \(n^2 + 2 = 4k^2 + 4k + 3\) даёт остаток 3. Остаток 0 не получается ни в одном случае.
Лайфхак. Чтобы доказать, что равенство невозможно, подберите модуль, по которому левая и правая части дают разные остатки. Проверяйте модули 2, 3, 4, 5, 9 — по порядку; в большинстве школьных задач работает один из них.
На ЕГЭ. В задании 20 ответ «нет» на вопрос «может ли…» обычно обосновывают именно чётностью или остатками. Ответ «да» требует примера, и его записывают явно, с проверкой условия.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward