Метод «оценка плюс пример»: суммы, группы, средние

Вопрос «какое наибольшее (наименьшее) значение может принимать…» в задании 20 решают в два шага. Сначала доказывают оценку: значение не больше некоторого числа. Затем приводят пример, в котором это число достигается. Без любого из двух шагов решение неполно.

Как это работает. На доске написано несколько различных натуральных чисел, их сумма равна 50. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано?

1. Оценка: если чисел \(k\), то их сумма не меньше \(1 + 2 + \dots + k = \dfrac{k(k + 1)}{2}\). Условие \(\dfrac{k(k + 1)}{2} \le 50\) даёт \(k \le 9\), так как \(\dfrac{9 \cdot 10}{2} = 45 \le 50\), а \(\dfrac{10 \cdot 11}{2} = 55 \gt 50\).
2. Пример для \(k = 9\): числа \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14\) различны, их сумма \(45 - 9 + 14 = 50\).
3. Ответ: 9.

Ещё пример. Среднее арифметическое 7 различных натуральных чисел равно 8. Каким наибольшим может быть самое большое из них?
Решение. Сумма чисел \(7 \cdot 8 = 56\). Чтобы наибольшее было как можно больше, остальные шесть берём наименьшими: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\). Тогда наибольшее равно \(56 - 21 = 35\). Оценка: шесть различных натуральных чисел в сумме дают не меньше 21, поэтому наибольшее не превосходит 35. Пример: \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 35\). Ответ: 35.