Числовые множества, числовая прямая и модуль

11 заданий

Числа, с которыми работает школьная математика, образуют вложенные множества: натуральные \(\mathbb N\) входят в целые \(\mathbb Z\), целые — в рациональные \(\mathbb Q\), рациональные вместе с иррациональными составляют действительные числа \(\mathbb R\). Каждому действительному числу отвечает точка числовой прямой, и наоборот.

Определения. Иррациональное число нельзя записать дробью \(\dfrac{m}{n}\); его десятичная запись бесконечна и непериодична: \(\sqrt2 = 1{,}41421\ldots\), \(\pi = 3{,}14159\ldots\), \(e = 2{,}71828\ldots\) Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный. Модуль числа — расстояние от нуля на прямой: \[|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0, \\ -a, & a \lt 0, \end{cases} \qquad |a - b| \text{ — расстояние между точками } a \text{ и } b.\]

Как это работает. Какое из чисел \(\dfrac{22}{7}\), \(\sqrt{49}\), \(\sqrt{50}\), \(0{,}(3)\) иррационально?

\(\dfrac{22}{7}\) — дробь, рациональное число (хотя близко к \(\pi\)).
\(\sqrt{49} = 7\) — целое. \(0{,}(3) = \dfrac13\) — рациональное: периодическая дробь всегда рациональна.
\(\sqrt{50}\): 50 не является точным квадратом (\(7^2 = 49\), \(8^2 = 64\)), значит, корень иррационален. Ответ: \(\sqrt{50}\).

Ещё пример. Найдите расстояние между точками \(-3{,}5\) и \(2\) на числовой прямой и вычислите \(|2 - \sqrt7|\).
Решение. Расстояние \(|2 - (-3{,}5)| = 5{,}5\). Так как \(\sqrt7 \gt \sqrt4 = 2\), число \(2 - \sqrt7\) отрицательно, и \(|2 - \sqrt7| = \sqrt7 - 2\). Ответ: 5,5 и \(\sqrt7 - 2\).

Лайфхак. Раскрывая модуль выражения с корнем, сравните корень с ближайшим целым: \(\sqrt7\) лежит между 2 и 3, поэтому \(2 - \sqrt7 \lt 0\), а \(3 - \sqrt7 \gt 0\). Знак выражения под модулем определяет, менять ли знак при раскрытии.

Типичная ошибка. \(|a| = a\) «всегда» — неверно для отрицательных чисел: \(|-5| = 5 = -(-5)\). Модуль никогда не отрицателен, а само число — может быть.

На ЕГЭ. Задание 1 базового уровня спрашивает, какому промежутку принадлежит число или какая точка на прямой соответствует \(\sqrt{30}\). В профиле модуль как расстояние — ключ к неравенствам \(|x - a| \lt b\) и задачам с параметром (тема 2.10).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward