Округление, стандартный вид и погрешность

11 заданий

Измерения и расчёты дают приближённые значения. Нужно уметь округлять до заданного разряда, записывать очень большие и очень маленькие числа компактно и понимать, насколько приближение точное.

Правила. При округлении до разряда смотрят на следующую цифру: если она 5 или больше, последнюю сохраняемую цифру увеличивают на 1, иначе оставляют. Стандартный вид: \(a \cdot 10^n\), где \(1 \le a \lt 10\), \(n\) — целое: \(0{,}00052 = 5{,}2 \cdot 10^{-4}\), \(384\,000 = 3{,}84 \cdot 10^5\). Абсолютная погрешность приближения \(x \approx a\) равна \(|x - a|\), относительная — \(\dfrac{|x - a|}{|x|}\) (часто в процентах).

Как это работает. Округлим \(3{,}14159\) до сотых и найдём относительную погрешность приближения \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\), считая \(\pi \approx 3{,}1416\).

До сотых: следующая за сотыми цифра — 1, меньше 5, поэтому \(3{,}14159 \approx 3{,}14\).
\(\dfrac{22}{7} = 3{,}142857\ldots\); абсолютная погрешность \(|3{,}1416 - 3{,}1429| \approx 0{,}0013\).
Относительная: \(\dfrac{0{,}0013}{3{,}1416} \approx 0{,}0004 = 0{,}04\,\%\). Ответ: 3,14; около 0,04 %.

Ещё пример. Масса Земли \(5{,}97 \cdot 10^{24}\) кг, масса Луны \(7{,}35 \cdot 10^{22}\) кг. Во сколько раз Земля тяжелее Луны?
Решение. \(\dfrac{5{,}97 \cdot 10^{24}}{7{,}35 \cdot 10^{22}} = \dfrac{5{,}97}{7{,}35} \cdot 10^2 \approx 0{,}812 \cdot 100 \approx 81\). Ответ: примерно в 81 раз.

Лайфхак. Сдвигая запятую вправо, уменьшайте показатель степени десяти, влево — увеличивайте: \(0{,}00052 = 5{,}2 \cdot 10^{-4}\) (запятая ушла на 4 разряда вправо). Числа в стандартном виде делят и умножают по частям: мантиссы отдельно, степени десяти отдельно.

Типичная ошибка. Округление «по цепочке»: \(2{,}4486 \to 2{,}449 \to 2{,}45 \to 2{,}5\). Округлять нужно за один шаг по исходному числу: до десятых \(2{,}4486 \approx 2{,}4\).

На ЕГЭ. Стандартный вид нужен в задании 10 (физические формулы с большими числами) и в базовом задании о реальных измерениях. В ответах части 1 профиля округлять нельзя: если получилось \(\dfrac{1}{3}\), в вычислениях ошибка.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward