Оценка и сравнение чисел. Округление в практических задачах
Часто точное значение не нужно — достаточно понять, между какими целыми числами оно лежит или какое из двух чисел больше. Приёмы оценки нужны и в практических задачах, где ответ округляют не по правилу, а по смыслу.
Приёмы. 1) Корень зажимают между соседними квадратами: \(8^2 = 64 \lt 70 \lt 81 = 9^2\), значит, \(8 \lt \sqrt{70} \lt 9\). 2) Два положительных числа сравнивают через квадраты (кубы): \(2\sqrt3\) и \(3\sqrt2\) — это \(\sqrt{12}\) и \(\sqrt{18}\). 3) Логарифм зажимают между степенями основания: \(2^3 \lt 10 \lt 2^4\), значит, \(3 \lt \log_2 10 \lt 4\). 4) В практических задачах округляют вверх, если спрашивают, сколько нужно купить (упаковок, банок, машин), и вниз, если спрашивают, сколько поместится или хватит.
Как это работает. Между какими соседними целыми числами лежит число \(\sqrt{50} + \sqrt{10}\)?
- \(7 \lt \sqrt{50} \lt 7{,}1\), так как \(7^2 = 49\), \(7{,}1^2 = 50{,}41\).
- \(3{,}1 \lt \sqrt{10} \lt 3{,}2\), так как \(3{,}1^2 = 9{,}61\), \(3{,}2^2 = 10{,}24\).
- Складываем оценки: \(10{,}1 \lt \sqrt{50} + \sqrt{10} \lt 10{,}3\). Число лежит между 10 и 11. Ответ: 10 и 11.
Ещё пример. Для ремонта нужно 63 м² плитки; плитка продаётся упаковками по 1,8 м². Сколько упаковок нужно купить?
Решение. \(63 : 1{,}8 = 35\) — ровно 35 упаковок. Если бы получилось 35,2, покупать пришлось бы 36: округляем вверх, иначе плитки не хватит. Ответ: 35.
Лайфхак. Чтобы сравнить \(\sqrt a + \sqrt b\) с целым числом \(n\), возведите в квадрат обе части: \((\sqrt a + \sqrt b)^2 = a + b + 2\sqrt{ab}\) сравнивают с \(n^2\), а затем ещё раз возводят в квадрат оставшийся корень.
Типичная ошибка. В задаче «сколько автобусов нужно для 150 человек по 45 мест» ответ \(150 : 45 = 3{,}33\) округляют до 3. Трёх автобусов не хватит: нужно 4.
На ЕГЭ. Оценка корней и логарифмов — обязательный шаг пункта б) задания 14: «корень \(\log_2 10\) принадлежит отрезку \([3; 4]\), так как \(8 \lt 10 \lt 16\)». Практическое округление — задания 1 и 10 базового уровня и задание 11 про покупки.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward