Делимость и деление с остатком

Целое число \(a\) делится на натуральное \(b\), если \(a = bk\) при некотором целом \(k\). Любое целое число можно разделить на \(b\) с остатком единственным образом:

\[a = bq + r, \qquad 0 \le r \lt b.\]

Здесь \(q\) — неполное частное, \(r\) — остаток. Остаток всегда неотрицателен, даже у отрицательных чисел: \(-17 = 5 \cdot (-4) + 3\), остаток равен 3, а не \(-2\).

Свойства делимости: если \(a\) и \(b\) делятся на \(m\), то на \(m\) делятся \(a + b\) и \(a - b\); если \(a\) делится на \(m\), то \(ak\) делится на \(m\) при любом целом \(k\); если \(a\) делится на \(m\), а \(m\) делится на \(n\), то \(a\) делится на \(n\).

Пример. Найдите остаток от деления числа \(2027\) на \(7\).
Решение. \(7 \cdot 289 = 2023\), поэтому \(2027 = 7 \cdot 289 + 4\). Остаток равен 4.

Пример. Сумма двух целых чисел делится на 3, одно из них делится на 3. Делится ли второе?
Решение. Да: второе число — разность суммы и первого слагаемого, а разность чисел, кратных 3, кратна 3.