Десятичные и натуральные логарифмы. Вычисления задания 8
Два основания получили собственные обозначения: \(\lg b = \log_{10} b\) — десятичный логарифм, \(\ln b = \log_e b\) — натуральный, с основанием \(e \approx 2{,}718\). Все свойства логарифмов для них те же.
Что помнить. \(\lg 10 = 1\), \(\lg 100 = 2\), \(\lg 0{,}01 = -2\), \(\ln e = 1\), \(\ln 1 = 0\), \(e^{\ln b} = b\), \(\ln e^k = k\). Приёмы задания 8 в одном месте: 1) число и основание — степени одного числа; 2) сумма и разность — свернуть; 3) показатель — вынести; 4) разные основания — перейти к одному; 5) степень с логарифмом в показателе — основное тождество, предварительно уравняв основания: \(9^{\log_3 5} = 3^{2\log_3 5} = 5^2 = 25\).
Как это работает. Найдём значение выражения \(\dfrac{\lg 8 + \lg 125}{\lg 10^{0{,}5}}\).
- Числитель: \(\lg 8 + \lg 125 = \lg (8 \cdot 125) = \lg 1000 = 3\).
- Знаменатель: \(\lg 10^{0{,}5} = 0{,}5\).
- Дробь: \(\dfrac{3}{0{,}5} = 6\). Ответ: 6.
Ещё пример. Найдите значение выражения \(25^{\log_5 3} - e^{2\ln 2}\).
Решение. \(25^{\log_5 3} = 5^{2\log_5 3} = \left(5^{\log_5 3}\right)^2 = 9\); \(e^{2\ln 2} = \left(e^{\ln 2}\right)^2 = 4\). Разность \(9 - 4 = 5\). Ответ: 5.
Лайфхак. Если основание степени и основание логарифма в показателе разные (\(25\) и \(5\), \(8\) и \(2\)), сначала запишите основание степени как степень основания логарифма, затем перенесите показатель к логарифму: \(8^{\log_2 3} = 2^{3\log_2 3} = 3^3 = 27\).
Типичная ошибка. \(\ln\) — не «обычный логарифм без основания»: основание есть, оно равно \(e\). Поэтому \(\ln e^5 = 5\), а \(\ln 10 \ne 1\).
На ЕГЭ. Типовые выражения задания 8: \(\lg 25 + \lg 4\) (2), \(2^{\log_2 5 + 1}\) (10), \(\log_5 12{,}5 + \log_5 10\) (3), \(\dfrac{\log_7 49}{\log_7 7}\) (2), \(\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\log_2 3}\) — это \(2^{-2\log_2 3} = \dfrac19\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward