Переход к новому основанию
Если основания логарифмов в выражении разные и не являются степенями одного числа, их приводят к общему основанию по формуле перехода. Из неё следуют два удобных правила — для произведения логарифмов и для «перевёрнутого» логарифма.
Формулы. \[\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}, \qquad \log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}, \qquad \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c.\] Основание \(c\) можно выбрать любое удобное (чаще всего 2, 3, 10 или \(e\)). Третья формула — «цепочка»: средние звенья сокращаются.
Как это работает. Найдём значение выражения \(\log_3 7 \cdot \log_7 81\).
- Это цепочка: \(\log_3 7 \cdot \log_7 81 = \log_3 81\).
- \(81 = 3^4\), поэтому \(\log_3 81 = 4\).
- Тот же результат через переход к основанию 3: \(\log_7 81 = \dfrac{\log_3 81}{\log_3 7}\), произведение равно \(\log_3 81 = 4\). Ответ: 4.
Ещё пример. Найдите \(\dfrac{\log_2 25}{\log_2 5} \cdot \log_5 2 \cdot \log_2 125\).
Решение. Первая дробь равна \(\log_5 25 = 2\) (переход к основанию 5 «в обратную сторону»). Далее \(\log_5 2 \cdot \log_2 125 = \log_5 125 = 3\). Произведение \(2 \cdot 3 = 6\). Ответ: 6.
Лайфхак. Дробь из двух логарифмов с одинаковым основанием — это один логарифм: \(\dfrac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b\). Произведение двух логарифмов, где число одного равно основанию другого, — тоже один логарифм. Эти два образа покрывают почти все задания 8 с разными основаниями.
Типичная ошибка. Сокращают «одинаковые» логарифмы в дроби как множители: \(\dfrac{\log_2 25}{\log_2 5}\) не равно \(\dfrac{25}{5} = 5\). Правильно: \(\log_5 25 = 2\).
На ЕГЭ. Задание 8: «\(\log_5 60 - \log_5 12\)» легко, а «\(\dfrac{\log_3 32}{\log_3 2}\)» требует перехода: \(\log_2 32 = 5\). В задании 14 уравнение \(\log_x 4 + \log_4 x = 2\) решают заменой \(t = \log_4 x\), тогда \(\log_x 4 = \dfrac1t\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward