Логарифм степени и степень в основании
Показатель степени из-под знака логарифма выносят множителем вперёд, а показатель из основания — множителем \(\dfrac{1}{m}\). Эти две формулы позволяют «выравнивать» основания в выражении.
Формулы (\(b \gt 0\)): \[\log_a b^k = k\log_a b, \qquad \log_{a^m} b = \dfrac{1}{m}\log_a b, \qquad \log_{a^m} b^k = \dfrac{k}{m}\log_a b.\] Частный случай: \(\log_{\sqrt a} b = 2\log_a b\), так как \(\sqrt a = a^{\dfrac12}\). Для чётного \(k\) при \(b \lt 0\) верно \(\log_a b^{2n} = 2n\log_a |b|\).
Как это работает. Найдём значение выражения \(\log_4 8 + \log_{\sqrt3} 9\).
- \(\log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \dfrac32\log_2 2 = \dfrac32\).
- \(\log_{\sqrt3} 9 = \log_{3^{\dfrac12}} 3^2 = \dfrac{2}{\dfrac12}\log_3 3 = 4\).
- Сумма: \(\dfrac32 + 4 = 5{,}5\). Ответ: 5,5.
Ещё пример. Вычислите \(\dfrac{\log_3 25}{\log_3 5}\).
Решение. \(\log_3 25 = \log_3 5^2 = 2\log_3 5\). Дробь равна \(\dfrac{2\log_3 5}{\log_3 5} = 2\). Ответ: 2.
Лайфхак. Приводите и основание, и число к степеням одного и того же числа: тогда логарифм равен отношению показателей. \(\log_{27} 81 = \dfrac{4}{3}\), потому что \(81 = 3^4\), \(27 = 3^3\); \(\log_{0{,}5} 8 = \dfrac{3}{-1} = -3\).
Типичная ошибка. \(\log_a^2 b\) — это \((\log_a b)^2\), квадрат логарифма, а \(\log_a b^2\) — логарифм квадрата, равный \(2\log_a b\). Это разные выражения: \(\log_2^2 8 = 9\), \(\log_2 8^2 = 6\).
На ЕГЭ. Задание 8: «\(\log_{0{,}25} 2\)» (ответ \(-0{,}5\)), «\(\dfrac{\log_2 36}{\log_2 6}\)» (ответ 2), «\(\log_{\sqrt5} 125\)» (ответ 6). Выражение \(\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2\) в задании 14 — квадратный трёхчлен относительно \(t = \log_2 x\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward