Логарифм произведения и частного
Логарифм превращает умножение в сложение, а деление — в вычитание. Это следует из свойств степеней: при умножении степеней показатели складываются.
Формулы (\(b, c \gt 0\)): \[\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c, \qquad \log_a \dfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c.\] Читаются в обе стороны: сумму логарифмов с одним основанием сворачивают в логарифм произведения, разность — в логарифм частного.
Как это работает. Найдём значение выражения \(\log_6 9 + \log_6 4\).
- Основания одинаковые, слагаемые — логарифмы. Сворачиваем сумму в логарифм произведения: \(\log_6 (9 \cdot 4) = \log_6 36\).
- \(36 = 6^2\), поэтому \(\log_6 36 = 2\).
- Ответ: 2.
Ещё пример. Найдите \(\log_5 250 - \log_5 2\).
Решение. Разность логарифмов — логарифм частного: \(\log_5 \dfrac{250}{2} = \log_5 125 = 3\). Ответ: 3.
Лайфхак. По отдельности \(\log_6 9\) и \(\log_6 4\) — иррациональные числа, и считать их бессмысленно. Если слагаемые «некрасивые», ответ прячется в их произведении или частном: ищите, что получится после сворачивания.
Типичная ошибка. \(\log_a (b + c) \ne \log_a b + \log_a c\) и \(\log_a b \cdot \log_a c \ne \log_a (bc)\). Проверка: \(\log_2 (4 + 4) = 3\), а \(\log_2 4 + \log_2 4 = 4\).
На ЕГЭ. Задание 8: «\(\log_{12} 4 + \log_{12} 36\)» (ответ 2), «\(\log_7 98 - \log_7 2\)» (ответ 2). В задании 14 формула применяется справа налево: \(\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3\) превращается в \(\log_2 (x(x - 2)) = 3\) — но только на ОДЗ исходного уравнения.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward