Определение логарифма и основное логарифмическое тождество
Логарифм отвечает на вопрос «в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить число». Например, \(\log_2 8 = 3\), потому что \(2^3 = 8\). Это обратная операция к возведению в степень, как вычитание — к сложению.
Определение. \[\log_a b = c \iff a^c = b, \qquad a \gt 0,\; a \ne 1,\; b \gt 0.\] Следствия: \(\log_a 1 = 0\), \(\log_a a = 1\), \(\log_a a^k = k\). Основное логарифмическое тождество: \[a^{\log_a b} = b.\] Логарифм отрицательного числа и нуля не существует: степень положительного основания всегда положительна.
Как это работает. Вычислим \(\log_{\dfrac12} 32\).
- Спрашиваем: в какую степень возвести \(\dfrac12\), чтобы получить 32? Записываем уравнение \(\left(\dfrac12\right)^c = 32\).
- Приводим к одному основанию: \(\left(\dfrac12\right)^c = 2^{-c}\), а \(32 = 2^5\). Значит, \(-c = 5\), \(c = -5\).
- Проверка: \(\left(\dfrac12\right)^{-5} = 2^5 = 32\). Ответ: \(-5\).
Ещё пример. Найдите значение выражения \(7^{\log_7 5 + 2}\).
Решение. Степень суммы — произведение степеней: \(7^{\log_7 5} \cdot 7^2 = 5 \cdot 49 = 245\). Ответ: 245.
Лайфхак. Увидев \(\log_a b\), сразу спросите себя: «\(a\) в какой степени даёт \(b\)?» и запишите \(b\) как степень \(a\): \(\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4\), \(\log_5 0{,}2 = \log_5 5^{-1} = -1\), \(\log_4 2 = \log_4 4^{\dfrac12} = \dfrac12\).
Типичная ошибка. \(\log_2 8 \ne \dfrac{8}{2}\) и \(\ne 8 - 2\). Логарифм — это показатель степени, а не результат деления или вычитания.
Из истории. Логарифмы придумал Джон Непер в 1614 году, чтобы заменить умножение многозначных чисел сложением. Таблицы логарифмов и логарифмическая линейка были главным вычислительным инструментом инженеров и астрономов 350 лет, до появления калькуляторов в 1970-х.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward