Действительные числа и их сравнение

Действительные числа — это рациональные и иррациональные вместе. Иррациональное число нельзя записать дробью \(\dfrac{p}{q}\), его десятичная запись бесконечна и непериодична: \(\sqrt2 = 1{,}41421\ldots\), \(\pi = 3{,}14159\ldots\), \(\log_2 3\), \(e\). Каждому действительному числу соответствует точка координатной прямой, и наоборот.

Способы сравнить два числа: сравнить квадраты (если оба неотрицательны), оценить каждое между соседними целыми, рассмотреть разность или привести к одному виду (одному основанию степени, одному подкоренному показателю).

Пример. Сравните \(\sqrt{10} + \sqrt{7}\) и \(\sqrt{11} + \sqrt{6}\).
Решение. Оба числа положительны, сравним квадраты: \(17 + 2\sqrt{70}\) и \(17 + 2\sqrt{66}\). Первое больше.

Пример. Что больше: \(\log_2 5\) или \(\log_3 8\)?
Решение. \(\log_2 5 \gt \log_2 4 = 2\), а \(\log_3 8 \lt \log_3 9 = 2\). Первое больше.

Пример. Между какими соседними целыми числами лежит \(\sqrt{47}\)?
Решение. \(36 \lt 47 \lt 49\), значит, \(6 \lt \sqrt{47} \lt 7\).