Диаграммы Эйлера — Венна

12 заданий

Множества изображают кругами; пересекающиеся круги показывают общие элементы. Для конечных множеств число элементов объединения считают по формуле включений-исключений:

\[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|, \qquad |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|.\]

Пример. В классе 30 учеников: 18 занимаются музыкой, 15 спортом, 5 — ни тем, ни другим. Сколько занимаются и тем, и другим?
Решение. Хотя бы одним занимаются \(30 - 5 = 25\): \(18 + 15 - x = 25\), \(x = 8\).

Пример. Из 100 туристов 70 знают английский, 45 — немецкий, 23 — оба языка. Сколько туристов не знают ни одного из этих языков?
Решение. Хотя бы один язык знают \(70 + 45 - 23 = 92\); ни одного — \(100 - 92 = 8\).

Пример. Сколько натуральных чисел от 1 до 100 делятся на 2 или на 3?
Решение. На 2 делятся 50 чисел, на 3 — 33, на 6 — 16. Ответ: \(50 + 33 - 16 = 67\).

Ловушка ЕГЭ. «Занимаются музыкой» (18 человек) включает тех, кто занимается и спортом тоже. Если в задаче сказано «только музыкой», это другая область диаграммы. Подписывайте на рисунке каждую область числом.

Как это спрашивают на ЕГЭ. Диаграммы Эйлера — Венна используют в задании 5 при подсчёте вероятностей объединения событий (\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)) и в задаче 20 при подсчёте чисел с данными свойствами.

Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward