Множества и операции над ними
Множество задают перечислением элементов или характеристическим свойством: \(\{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \lt 3\} = \{-2; -1; 0; 1; 2\}\). Пустое множество \(\varnothing\) не содержит элементов. \(A \subset B\) (\(A\) — подмножество \(B\)), если каждый элемент \(A\) лежит в \(B\). Числовые множества вложены: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
| Операция | Обозначение | Смысл | Пример для \(A = [0; 4]\), \(B = (2; 6)\) |
|---|---|---|---|
| Пересечение | \(A \cap B\) | общие элементы («и») | \((2; 4]\) |
| Объединение | \(A \cup B\) | все элементы обоих («или») | \([0; 6)\) |
| Разность | \(A \setminus B\) | элементы \(A\), не входящие в \(B\) | \([0; 2]\) |
| Дополнение | \(\bar A\) | всё, что не в \(A\) | \((-\infty; 0) \cup (4; +\infty)\) |
Число подмножеств множества из \(n\) элементов равно \(2^n\) (включая пустое и само множество).
Пример. Найдите \(A \cap B\) и \(A \cup B\), если \(A\) — множество делителей числа 12, \(B\) — делителей числа 18.
Решение. \(A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\), \(B = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}\). \(A \cap B = \{1, 2, 3, 6\}\) — общие делители, наибольший из них — НОД. \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18\}\).
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward