Множества и операции над ними

12 заданий

Множество — набор объектов, его элементов; порядок и повторы не важны. Множества задают перечислением \(\{1; 2; 3\}\) или условием \(\{x \mid x \gt 0\}\). Из двух множеств строят новые: объединение, пересечение, разность. Этот язык нужен для записи ответов неравенств и для задач на подсчёт.

Операции. \(A \cup B\) — объединение: элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств («или»). \(A \cap B\) — пересечение: элементы, принадлежащие обоим («и»). \(A \setminus B\) — разность: элементы \(A\), не входящие в \(B\). \(\overline{A}\) — дополнение до универсального множества. \(A \subset B\) — \(A\) подмножество \(B\). \(\varnothing\) — пустое множество. Число подмножеств множества из \(n\) элементов равно \(2^n\). Числовые промежутки: \([1; 5] \cap (3; 8) = (3; 5]\), \([1; 5] \cup (3; 8) = [1; 8)\).

Как это работает. Пусть \(A = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\) (делители 12), \(B = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\) (делители 18). Найдём \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(A \setminus B\).

Пересечение — общие делители: \(\{1; 2; 3; 6\}\); наибольший из них, 6, — НОД\((12; 18)\).
Объединение: \(\{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18\}\) — 8 элементов.
Разность: \(A \setminus B = \{4; 12\}\). Ответ: указаны; \(|A \cup B| = 8\).

Ещё пример. Найдите пересечение и объединение промежутков \((-\infty; 3]\) и \((-2; 7)\). Сколько подмножеств у множества \(\{a; b; c\}\)?
Решение. Пересечение \((-2; 3]\), объединение \((-\infty; 7)\). Подмножеств \(2^3 = 8\), включая пустое и само множество. Ответ: \((-2; 3]\); \((-\infty; 7)\); 8.

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1. \(A = \{1; 3; 5; 7; 9\}\), \(B = \{3; 6; 9\}\). Найдите \(A \cap B\), \(A \cup B\) и \(A \setminus B\).

Пересечение — общие элементы: \(\{3; 9\}\).
Объединение — все элементы хотя бы одного множества, каждый один раз: \(\{1; 3; 5; 6; 7; 9\}\).
Разность — элементы \(A\), которых нет в \(B\): \(\{1; 5; 7\}\).

Ответ: \(\{3; 9\}\); \(\{1; 3; 5; 6; 7; 9\}\); \(\{1; 5; 7\}\).

Задача 2. В множестве \(A\) 12 элементов, в \(B\) — 9, в их пересечении — 4. Сколько элементов в \(A \cup B\)?

Если сложить \(12 + 9\), общие 4 элемента посчитаются дважды.
\(|A \cup B| = 12 + 9 - 4 = 17\).

Ответ: 17.

Лайфхак. Пересечение промежутков — общая часть, рисуйте оба на одной прямой и берите двойную штриховку; объединение — всё заштрихованное. Концы: в пересечение конец входит, если входит в оба; в объединение — если хотя бы в один.

Типичная ошибка. Путают знаки \(\cup\) и \(\cap\): \(\cup\) похож на букву U из «union» — объединение; \(\cap\) — «шапочка», пересечение. Решение системы неравенств — пересечение, совокупности — объединение.

На ЕГЭ. Знак \(\cup\) в ответе задания 15 означает объединение промежутков. Пересечение множеств — язык ОДЗ (система условий). Понятие подмножества нужно в комбинаторике (число способов выбрать подгруппу).

Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward