Диаграммы Эйлера — Венна: три множества

11 заданий

Для трёх множеств диаграмма состоит из трёх кругов и семи областей. Формула включений-исключений усложняется: парные пересечения вычитают, а тройное — возвращают, иначе элементы, входящие во все три множества, будут исключены лишний раз.

Формула. \[|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|.\] Заполнение диаграммы: центр (все три) → три области «ровно два» (парное пересечение минус центр) → три области «только одно» → вне кругов. Проверка: сумма семи областей равна \(|A \cup B \cup C|\).

Как это работает. Из 100 студентов 50 знают английский, 40 — французский, 30 — немецкий; 20 знают английский и французский, 15 — английский и немецкий, 10 — французский и немецкий; 5 знают все три. Сколько студентов не знают ни одного языка?

По формуле: \(|A \cup F \cup N| = 50 + 40 + 30 - 20 - 15 - 10 + 5 = 80\).
Ни одного: \(100 - 80 = 20\).
Проверка по диаграмме: центр 5; «ровно два»: \(15, 10, 5\); «только одно»: английский \(50 - 15 - 10 - 5 = 20\), французский \(40 - 15 - 5 - 5 = 15\), немецкий \(30 - 10 - 5 - 5 = 10\). Сумма \(5 + 30 + 45 = 80\). Ответ: 20.

Ещё пример. В тех же данных найдите, сколько студентов знают ровно один язык.
Решение. Из проверки: \(20 + 15 + 10 = 45\). Ответ: 45.

Лайфхак. Если спрашивают «ровно один», «ровно два», «хотя бы один» — рисуйте диаграмму и заполняйте от центра: формула даёт только объединение, а диаграмма отвечает на любой вопрос. Для «хотя бы один» достаточно формулы.

Типичная ошибка. Забывают прибавить тройное пересечение в конце формулы или вычитают его. Знаки чередуются: одиночные с плюсом, парные с минусом, тройное с плюсом.

На ЕГЭ. Задачи на три множества встречаются в задании 5 (вероятность по диаграмме) и в задании 20 (подсчёт чисел, делящихся на 2, 3 или 5 среди первых \(N\) натуральных: \(\left\lfloor \dfrac{N}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{N}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{N}{5} \right\rfloor - \ldots\)).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward