Диаграммы Эйлера — Венна: два множества

11 заданий

Диаграмма Эйлера — Венна изображает множества кругами: пересечение — общая часть кругов. Задачи вида «в классе 25 человек, 15 изучают английский, 12 — немецкий, 5 — оба языка» решают, заполняя области диаграммы числами, начиная с пересечения.

Формула включений-исключений. \[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.\] Складывая \(|A|\) и \(|B|\), общие элементы считают дважды, поэтому пересечение вычитают один раз. Число элементов, не входящих ни в одно из множеств: \(N - |A \cup B|\), где \(N\) — всего элементов. Только в \(A\): \(|A| - |A \cap B|\).

Как это работает. В классе 25 учеников: 15 изучают английский, 12 — немецкий, 5 — оба языка. Сколько учеников не изучают ни одного из этих языков? Сколько изучают только английский?

На диаграмме в пересечении кругов пишем 5. Только английский: \(15 - 5 = 10\); только немецкий: \(12 - 5 = 7\).
Хотя бы один язык: \(10 + 5 + 7 = 22\) (или \(15 + 12 - 5 = 22\)).
Ни одного: \(25 - 22 = 3\). Ответ: 3; 10.

Ещё пример. Среди 40 чисел 24 делятся на 2, 15 делятся на 3, 9 не делятся ни на 2, ни на 3. Сколько чисел делятся и на 2, и на 3?
Решение. Делятся хотя бы на одно: \(40 - 9 = 31\). По формуле \(31 = 24 + 15 - x\), откуда \(x = 8\). Ответ: 8.

Лайфхак. Заполняйте диаграмму изнутри наружу: сначала пересечение, потом «только \(A\)» и «только \(B\)», в конце — область вне кругов. Если дано число «ни того ни другого», сначала найдите объединение как \(N\) минус это число.

Типичная ошибка. Считают, что «15 изучают английский» означает «только английский». В условиях таких задач число включает и тех, кто изучает оба языка, если не сказано «только».

На ЕГЭ. Задание 5 (вероятность): «В классе 25 учеников… найдите вероятность, что случайно выбранный ученик не изучает ни одного языка» — сначала диаграмма, потом деление: \(\dfrac{3}{25} = 0{,}12\). Формула включений-исключений — это и формула сложения вероятностей \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward