Доказательство, пример и контрпример

Утверждение «для любого…» опровергается одним контрпримером, а доказывается общим рассуждением. Утверждение «существует…» доказывается одним примером, а опровергается рассуждением для всех случаев.

Доказательство от противного: предполагаем, что утверждение ложно, и приходим к противоречию. Так доказывают иррациональность \(\sqrt2\): если \(\sqrt2 = \dfrac{p}{q}\) — несократимая дробь, то \(p^2 = 2q^2\), значит, \(p\) чётно, \(p = 2m\), тогда \(q^2 = 2m^2\) и \(q\) чётно — противоречие с несократимостью.

Необходимое и достаточное условия. «\(A \Rightarrow B\)» означает, что \(B\) необходимо для \(A\), а \(A\) достаточно для \(B\). «Число делится на 6» достаточно для «число чётно», но не необходимо. Если верно и \(A \Rightarrow B\), и \(B \Rightarrow A\), условия равносильны (\(A \Leftrightarrow B\)).

Метод математической индукции: проверяют утверждение для \(n = 1\) и доказывают, что из его верности для \(n\) следует верность для \(n + 1\); тогда оно верно для всех натуральных \(n\).

Пример. Может ли сумма трёх последовательных натуральных чисел равняться 100?
Решение. \(n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)\) делится на 3, а 100 — нет. Значит, не может.

Пример. Верно ли, что при любом натуральном \(n\) число \(n^2 + n + 41\) простое?
Решение. Нет: при \(n = 41\) число \(41^2 + 41 + 41 = 41 \cdot 43\) составное. Первые сорок значений — простые, но это не доказательство.