Высказывания и логические связки

11 заданий

Высказывание — утверждение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно: «\(7\) — простое число» (истинно), «\(2 + 2 = 5\)» (ложно). Из простых высказываний с помощью связок строят сложные; их истинность определяется таблицами.

Связки. \(\neg A\) («не \(A\)») истинно, когда \(A\) ложно. \(A \wedge B\) («\(A\) и \(B\)») истинно, только когда истинны оба. \(A \vee B\) («\(A\) или \(B\)») истинно, когда истинно хотя бы одно (неисключающее «или»). Отрицание: \(\neg(A \wedge B) = \neg A \vee \neg B\), \(\neg(A \vee B) = \neg A \wedge \neg B\) (законы де Моргана). Отрицание «все» — «существует хотя бы один, который не»; отрицание «существует» — «ни один не».

Как это работает. Определим истинность высказываний: «\(12\) делится на 3 и на 5», «\(12\) делится на 3 или на 5», «неверно, что \(12\) делится на 3 и на 5».

«Делится на 3» — истинно, «делится на 5» — ложно. Конъюнкция («и») ложна: одно из высказываний ложно.
Дизъюнкция («или») истинна: хотя бы одно истинно.
Отрицание ложного высказывания истинно. Ответ: ложно; истинно; истинно.

Ещё пример. Сформулируйте отрицание высказывания «Все ученики класса сдали экзамен».
Решение. Отрицание «все» — существование исключения: «Хотя бы один ученик класса не сдал экзамен». Высказывание «Все ученики не сдали» отрицанием не является. Ответ: «найдётся ученик, который не сдал экзамен».

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1. Определите истинность высказываний: «7 — простое и чётное число», «7 — простое или чётное число», «неверно, что 7 — чётное число».

«И» требует истинности обеих частей: 7 простое — верно, 7 чётное — неверно. Высказывание ложно.
«Или» требует истинности хотя бы одной части: 7 простое — верно. Высказывание истинно.
Отрицание ложного высказывания «7 чётное» истинно.

Ответ: ложно; истинно; истинно.

Задача 2. Сформулируйте отрицания высказываний «Существует ученик класса, не решивший задачу» и «\(x \gt 3\)».

Отрицание «существует… не решивший» — «все ученики класса решили задачу».
Отрицание \(x \gt 3\) — это \(x \le 3\) (не «\(x \lt 3\)»: случай \(x = 3\) тоже нарушает исходное неравенство).

Ответ: «Все ученики класса решили задачу»; \(x \le 3\).

Лайфхак. Чтобы построить отрицание сложного высказывания, замените «и» на «или», «или» на «и», «все» на «некоторые не», «некоторые» на «все не» и каждое простое высказывание — на противоположное. Проверьте на примере с конкретными числами.

Типичная ошибка. Считают «или» исключающим: высказывание «\(6\) делится на 2 или на 3» истинно, хотя 6 делится на оба числа. В математике «или» допускает оба варианта сразу.

На ЕГЭ. Логические связки стоят за записью решений: система — «и», совокупность — «или». Отрицание «уравнение имеет корень» — «уравнение не имеет корней»; это нужно в задании 19 при разборе случаев.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward