Высказывания и логические связки

Высказывание — утверждение, которое либо истинно, либо ложно («7 — простое число» истинно, «\(2 \gt 5\)» ложно). Из высказываний строят новые с помощью связок: отрицание «не \(A\)», конъюнкция «\(A\) и \(B\)» (истинна, когда истинны оба), дизъюнкция «\(A\) или \(B\)» (истинна, когда истинно хотя бы одно), импликация «если \(A\), то \(B\)» (ложна только когда \(A\) истинно, а \(B\) ложно).

Отрицание утверждений с кванторами: отрицание «для всех \(x\) верно \(P\)» — «существует \(x\), для которого \(P\) неверно»; отрицание «существует \(x\) с \(P\)» — «для всех \(x\) неверно \(P\)». Отрицание «\(A\) и \(B\)» — «не \(A\) или не \(B\)».

Пример. Сформулируйте отрицание утверждения «все корни уравнения положительны».
Решение. «Существует корень уравнения, который не положителен» (то есть отрицательный или равный нулю). Ошибочный вариант — «все корни отрицательны».

Пример. Верно ли, что если число делится на 4, то оно делится на 2? А обратное?
Решение. Первое верно. Обратное («если делится на 2, то делится на 4») неверно: контрпример 6.