Дробно-рациональные уравнения и текстовые задачи

Уравнение с неизвестным в знаменателе приводят к виду \(\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0\), что равносильно системе \(P(x) = 0\), \(Q(x) \ne 0\). Корни, обращающие знаменатель в ноль, отбрасывают.

Пример. Решите уравнение \(\dfrac{x^2 - 1}{x + 1} = 0\).
Решение. Числитель: \(x = \pm 1\); знаменатель \(x + 1 \ne 0\) исключает \(x = -1\). Ответ: 1.

Пример. Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал на 5 км/ч быстрее второго и прибыл на 3 часа раньше. Найдите скорость первого.
Решение. Пусть скорость первого \(v\) км/ч: \(\dfrac{90}{v - 5} - \dfrac{90}{v} = 3\). Умножаем на \(v(v - 5) \ne 0\): \(90v - 90(v - 5) = 3v(v - 5)\), \(v^2 - 5v - 150 = 0\), \(v = 15\) (корень \(-10\) не подходит по смыслу). Ответ: 15.

Пример. Первая труба наполняет бассейн на 6 часов дольше второй, а вместе они наполняют его за 4 часа. За сколько часов наполняет бассейн вторая труба?
Решение. Пусть вторая — за \(x\) часов: \(\dfrac1x + \dfrac{1}{x + 6} = \dfrac14\), \(4(x + 6) + 4x = x(x + 6)\), \(x^2 - 2x - 24 = 0\), \(x = 6\).