Уравнения высших степеней

Основные приёмы: разложение на множители (вынесение общего множителя, группировка, формулы сокращённого умножения) и замена переменной. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

Биквадратное уравнение \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) заменой \(t = x^2 \ge 0\) сводится к квадратному: \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\), \(t^2 - 5t + 4 = 0\), \(t = 1\) или \(t = 4\), откуда \(x = \pm1\), \(x = \pm2\). Отрицательный корень \(t\) отбрасывают.

Пример. Решите уравнение \((x + 6)^2 = (x - 4)^2\).
Решение. Перенесём и разложим разность квадратов: \((x + 6 - x + 4)(x + 6 + x - 4) = 0\), \(10(2x + 2) = 0\), \(x = -1\).

Пример. Решите уравнение \(x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0\).
Решение. Группируем: \(x^2(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x^2 - 4) = 0\). Корни \(3\), \(2\), \(-2\).

Целые корни многочлена с целыми коэффициентами — делители свободного члена. Для \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\) пробуем \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\): \(x = 1\) подходит, делим многочлен на \(x - 1\) и получаем \(x^2 - 5x + 6\), то есть ещё корни 2 и 3.

Возвратное уравнение \(x^4 + x^3 - 4x^2 + x + 1 = 0\) делят на \(x^2\) и делают замену \(t = x + \dfrac1x\): \(t^2 + t - 6 = 0\).