Линейные и квадратные уравнения

Линейное уравнение \(ax + b = 0\) при \(a \ne 0\) имеет единственный корень \(x = -\dfrac{b}{a}\); при \(a = 0\), \(b \ne 0\) корней нет; при \(a = b = 0\) корень — любое число.

Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \ne 0\)) решают через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):

\[x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \quad (D \gt 0), \qquad x = -\dfrac{b}{2a} \quad (D = 0), \qquad \text{корней нет} \quad (D \lt 0).\]

Теорема Виета: если \(x_1, x_2\) — корни, то \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Для приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\): сумма корней \(-p\), произведение \(q\). Теорема работает и в обратную сторону — по сумме и произведению корни подбирают устно.

Пример. Решите уравнение \(x^2 - 7x + 12 = 0\).
Решение. Ищем два числа с суммой 7 и произведением 12: это 3 и 4. Корни \(3\) и \(4\).

Пример. Один из корней уравнения \(x^2 + bx - 15 = 0\) равен 3. Найдите \(b\).
Решение. По Виету второй корень \(-15 : 3 = -5\), сумма корней \(-2 = -b\), \(b = 2\).

Неполные уравнения решают без дискриминанта: \(x^2 - 9 = 0\) даёт \(x = \pm 3\); \(3x^2 + 5x = 0\) — \(x(3x + 5) = 0\), \(x = 0\) или \(x = -\dfrac53\).