Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения, ограниченность

Точка \(x_0\) — точка максимума, если в некоторой окрестности \(x_0\) значения функции не больше \(f(x_0)\); точка минимума — если не меньше. Точки максимума и минимума — точки экстремума, а значения функции в них — экстремумы. Экстремум — «вершина» или «впадина» графика, локальное понятие: у функции может быть несколько максимумов, и не все они — наибольшие значения.

Наибольшее (наименьшее) значение на отрезке непрерывная функция достигает либо в точке экстремума внутри отрезка, либо на его конце. Функция ограничена сверху, если все её значения не превосходят некоторого числа (\(\sin x \le 1\)), ограничена снизу — если не меньше (\(x^2 \ge 0\), \(2^x \gt 0\)).

Пример. Найдите наименьшее значение функции \(y = x^2 - 6x + 11\).
Решение. Вершина параболы \(x_{\text{в}} = 3\), \(y(3) = 9 - 18 + 11 = 2\). Ответ: 2.

Пример. Найдите наибольшее значение функции \(y = \dfrac{10}{x^2 + 1}\).
Решение. Знаменатель не меньше 1 и равен 1 при \(x = 0\); дробь наибольшая при наименьшем знаменателе: \(y(0) = 10\). Функция ограничена: \(0 \lt y \le 10\), наименьшего значения у неё нет — значения приближаются к нулю, но не достигают его.