Нули, знак и монотонность функции

Нули функции — решения уравнения \(f(x) = 0\), точки пересечения графика с осью \(Ox\). Промежутки знакопостоянства — промежутки, где \(f(x) \gt 0\) (график выше оси) или \(f(x) \lt 0\) (ниже оси); их находят методом интервалов.

Функция возрастает на промежутке, если большему аргументу соответствует большее значение: \(x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \lt f(x_2)\); убывает — если меньшее. Возрастающая функция каждое значение принимает один раз, поэтому уравнение \(f(x) = c\) имеет не больше одного корня — на этом основан метод «угадать корень и доказать единственность».

Пример. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\).
Решение. \((x - 3)(x + 1) = 0\): нули \(-1\) и 3. Парабола ветвями вверх: \(f \lt 0\) на \((-1; 3)\), \(f \gt 0\) на \((-\infty; -1) \cup (3; +\infty)\).

Пример. Решите уравнение \(2^x + x = 3\).
Решение. Левая часть возрастает как сумма возрастающих функций, поэтому корень не более одного. Подбор: \(x = 1\) — \(2 + 1 = 3\). Ответ: 1.

Монотонность по графику: функция возрастает там, где график идёт «в гору» слева направо. По формуле монотонность проверяют определением, известными свойствами (линейная с \(k \gt 0\) возрастает, \(a^x\) при \(a \gt 1\) возрастает) или производной.