Фигуры на клетчатой бумаге
На клетчатой бумаге координаты узлов известны, поэтому площади, длины и тангенсы углов считают без формул тригонометрии: разбиением на прямоугольники и треугольники, достраиванием до прямоугольника или формулой Пика.
Приёмы. Площадь: достроить фигуру до прямоугольника и вычесть лишние прямоугольные треугольники; или формула Пика \(S = B + \dfrac{\Gamma}{2} - 1\) (\(B\) — узлы внутри, \(\Gamma\) — на границе). Длина отрезка между узлами: \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\). Тангенс угла между отрезком и горизонталью: \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\); тангенс угла треугольника — через прямоугольный треугольник с вершиной в узле, или через \(\operatorname{tg}(\alpha - \beta)\). Площадь треугольника по координатам: \(S = \dfrac12 |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\).
Как это работает. Треугольник с вершинами в узлах \((0; 0)\), \((6; 2)\), \((2; 5)\). Найдём его площадь двумя способами.
- Достраивание: прямоугольник \(6 \times 5 = 30\); лишние треугольники: \(\dfrac12 \cdot 6 \cdot 2 = 6\), \(\dfrac12 \cdot 4 \cdot 3 = 6\), \(\dfrac12 \cdot 2 \cdot 5 = 5\). \(S = 30 - 17 = 13\).
- По координатам: \(\dfrac12 |0 \cdot (2 - 5) + 6(5 - 0) + 2(0 - 2)| = \dfrac12 |30 - 4| = 13\).
- Ответ: 13.
Ещё пример. Найдите тангенс угла \(AOB\), если \(O = (0; 0)\), \(A = (4; 0)\), \(B = (3; 3)\).
Решение. Угол между \(OB\) и горизонталью: \(\operatorname{tg} = \dfrac{3}{3} = 1\); \(OA\) лежит на горизонтали, значит, \(\operatorname{tg}\angle AOB = 1\) (угол \(45^\circ\)). Ответ: 1.
Лайфхак. Для тангенса угла, у которого ни одна сторона не горизонтальна, опустите из точки на одной стороне перпендикуляр на другую, выбирая точки в узлах, или используйте \(\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}\) для наклонов сторон.
Типичная ошибка. Считают площадь «по клеткам на глаз» или берут за высоту наклонный отрезок. Высота — перпендикуляр, на клетках его удобно брать вдоль линий сетки.
На ЕГЭ. Задание 1 часто дано на клетчатой бумаге \(1 \times 1\): «Найдите площадь трапеции», «найдите тангенс угла», «найдите длину средней линии». Размер клетки указан — ответ в тех же единицах.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward