Правильные многоугольники
У правильного многоугольника все стороны и углы равны; около него можно описать окружность и в него вписать, причём центры совпадают. Через радиусы и сторону выражаются все его размеры.
Формулы для правильного \(n\)-угольника со стороной \(a\): сумма углов любого \(n\)-угольника \(180^\circ(n - 2)\); угол правильного \(\alpha_n = \dfrac{180^\circ(n - 2)}{n}\); центральный угол \(\dfrac{360^\circ}{n}\); \[R = \dfrac{a}{2\sin\dfrac{180^\circ}{n}}, \qquad r = \dfrac{a}{2\operatorname{tg}\dfrac{180^\circ}{n}}, \qquad S = \dfrac12 P r.\] Треугольник: \(R = \dfrac{a}{\sqrt3}\), \(r = \dfrac{a}{2\sqrt3}\). Квадрат: \(R = \dfrac{a}{\sqrt2}\), \(r = \dfrac a2\). Шестиугольник: \(R = a\), \(r = \dfrac{a\sqrt3}{2}\), \(S = \dfrac{3\sqrt3}{2}a^2\) (шесть равносторонних треугольников).
Как это работает. Сторона правильного шестиугольника равна 4. Найдём радиусы вписанной и описанной окружностей и площадь.
- Шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной 4: \(R = 4\).
- \(r\) — высота такого треугольника: \(r = \dfrac{4\sqrt3}{2} = 2\sqrt3\).
- \(S = 6 \cdot \dfrac{16\sqrt3}{4} = 24\sqrt3\). Ответ: \(R = 4\), \(r = 2\sqrt3\), \(S = 24\sqrt3\).
Ещё пример. Сколько сторон у правильного многоугольника, угол которого равен \(150^\circ\)?
Решение. Внешний угол \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\); сумма внешних углов любого многоугольника \(360^\circ\), значит, \(n = \dfrac{360}{30} = 12\). Ответ: 12.
Лайфхак. Считайте через внешний угол: он равен \(\dfrac{360^\circ}{n}\), и число сторон находится делением. Правильный шестиугольник — шесть равносторонних треугольников: все его размеры читаются с одного треугольника.
Типичная ошибка. Считают радиус описанной окружности шестиугольника равным \(\dfrac{a\sqrt3}{2}\) — это радиус вписанной. У шестиугольника \(R = a\): сторона равна радиусу.
На ЕГЭ. Задание 1: «Найдите угол правильного восьмиугольника» (135), «сторона правильного треугольника равна \(\sqrt3\); найдите радиус описанной окружности» (1). Задание 2 (векторы): векторы на сторонах правильного шестиугольника.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward