Вписанные и описанные четырёхугольники

11 заданий

Четырёхугольник можно вписать в окружность не всегда — только если сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Описать около окружности можно тоже не всякий — нужно равенство сумм противоположных сторон. Оба критерия работают в обе стороны.

Критерии. Четырёхугольник вписан в окружность \(\iff \angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ\) (также: угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю). Четырёхугольник описан около окружности \(\iff a + c = b + d\). Площадь описанного многоугольника \(S = pr\) (как у треугольника). Среди параллелограммов вписан только прямоугольник, описан только ромб.

Как это работает. Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность, \(\angle A = 70^\circ\), \(\angle B = 110^\circ\). Найдём углы \(C\) и \(D\).

\(\angle C = 180^\circ - \angle A = 110^\circ\).
\(\angle D = 180^\circ - \angle B = 70^\circ\).
Углы \(A\) и \(C\), \(B\) и \(D\) — две пары противоположных; \(70 + 110 + 110 + 70 = 360\). Ответ: \(110^\circ\); \(70^\circ\).

Ещё пример. Три стороны описанного четырёхугольника, взятые подряд, равны 5, 8 и 11. Найдите четвёртую сторону и площадь, если радиус вписанной окружности равен 3.
Решение. \(5 + 11 = 8 + d\), \(d = 8\). Полупериметр \(p = 16\), \(S = pr = 48\). Ответ: 8; 48.

Лайфхак. Чтобы доказать, что четыре точки лежат на одной окружности, достаточно показать, что два угла, опирающиеся на один отрезок с одной стороны, равны (например, два прямых угла на отрезок \(AB\)). Это главный приём задания 18 «докажите, что точки лежат на одной окружности».

Типичная ошибка. Для описанного четырёхугольника складывают соседние стороны: \(a + b = c + d\). Равны суммы противоположных сторон.

На ЕГЭ. Задание 1: «Угол \(A\) вписанного четырёхугольника равен \(58^\circ\); найдите угол \(C\)» (122). Задание 18: вписанность четырёхугольника — доказательный шаг, после которого равные вписанные углы дают подобие.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward