Трапеция

11 заданий

Трапеция — четырёхугольник с двумя параллельными сторонами (основаниями). Её средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме; площадь — произведение средней линии на высоту. Равнобедренная трапеция добавляет симметрию, прямоугольная — готовую высоту.

Формулы. Средняя линия \(m = \dfrac{a + b}{2}\); \(S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = mh\). Равнобедренная: углы при основании равны, диагонали равны, высота из вершины отсекает на большем основании отрезок \(\dfrac{a - b}{2}\) (у тупого угла) и \(\dfrac{a + b}{2}\) (у острого). Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен \(\dfrac{a - b}{2}\). Трапеция вписана в окружность \(\iff\) она равнобедренная; описана около окружности \(\iff a + b = c + d\), тогда \(h = 2r\). Диагонали делят трапецию на треугольники: прилежащие к основаниям подобны с \(k = \dfrac{b}{a}\), прилежащие к боковым сторонам равновелики.

Как это работает. Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 22, боковая сторона 10. Найдём высоту и площадь.

Высота отсекает на большем основании отрезок \(\dfrac{22 - 10}{2} = 6\).
Из прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 и катетом 6: \(h = 8\).
\(S = \dfrac{10 + 22}{2} \cdot 8 = 128\). Ответ: \(h = 8\); \(S = 128\).

Ещё пример. Трапеция описана около окружности радиуса 3; её периметр равен 32. Найдите площадь.
Решение. \(a + b = c + d = 16\); высота \(h = 2r = 6\); \(S = \dfrac{16}{2} \cdot 6 = 48\). Ответ: 48.

Лайфхак. В равнобедренной трапеции проводите обе высоты — получаются два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник посередине; все длины становятся видны. В задачах про диагонали трапеции ищите подобные треугольники у оснований.

Типичная ошибка. Среднюю линию трапеции считают как половину большего основания или среднее боковых сторон. Средняя линия — полусумма оснований.

На ЕГЭ. Задание 1: «Основания трапеции 4 и 10, высота 5; найдите площадь» (35), «средняя линия 8, одно основание 5; найдите другое» (11). Задание 18: трапеция, описанная около окружности, и равновеликие треугольники при диагоналях.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward