Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат
Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными сторонами; ромб, прямоугольник и квадрат — его частные случаи с дополнительными свойствами диагоналей. Площади всех четырёх считают несколькими способами.
| Фигура | Свойства | Площадь |
|---|---|---|
| Параллелограмм | противоположные стороны и углы равны; соседние углы в сумме \(180^\circ\); диагонали делятся точкой пересечения пополам; \(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\) | \(S = ah = ab\sin\alpha = \dfrac12 d_1 d_2 \sin\varphi\) |
| Ромб | все стороны равны; диагонали перпендикулярны и делят углы пополам | \(S = \dfrac12 d_1 d_2 = a^2\sin\alpha = ah\) |
| Прямоугольник | все углы прямые; диагонали равны; \(d^2 = a^2 + b^2\) | \(S = ab = \dfrac12 d^2\sin\varphi\) |
| Квадрат | всё перечисленное; \(d = a\sqrt2\); \(R = \dfrac{d}{2}\), \(r = \dfrac{a}{2}\) | \(S = a^2 = \dfrac{d^2}{2}\) |
Как это работает. Диагонали ромба равны 12 и 16. Найдём сторону ромба, его площадь и высоту.
- Диагонали перпендикулярны и делятся пополам: половины 6 и 8, сторона \(\sqrt{36 + 64} = 10\).
- Площадь \(S = \dfrac12 \cdot 12 \cdot 16 = 96\).
- Высота из \(S = ah\): \(h = \dfrac{96}{10} = 9{,}6\). Ответ: 10; 96; 9,6.
Ещё пример. Стороны параллелограмма равны 9 и 15, высота к большей стороне равна 6. Найдите высоту к меньшей стороне.
Решение. \(S = 15 \cdot 6 = 90\); высота к стороне 9: \(\dfrac{90}{9} = 10\). Ответ: 10.
Лайфхак. Площадь параллелограмма — одна и та же при любом выборе стороны: \(a h_a = b h_b\). Половины диагоналей ромба и его сторона — прямоугольный треугольник; это первое, что нужно нарисовать в задаче о ромбе.
Типичная ошибка. Применяют \(S = \dfrac12 d_1 d_2\) к любому параллелограмму. Без синуса угла между диагоналями эта формула верна только для ромба и квадрата (где диагонали перпендикулярны).
На ЕГЭ. Задание 1: ромб с диагоналями, параллелограмм с высотами, площадь квадрата по диагонали, «найдите больший угол параллелограмма, если меньший на \(40^\circ\) меньше» (110). Задание 18: параллелограмм как средство переноса отрезков.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward